Grenzwert für Folgen

24.11.2010, 17:13

Carsten222

Grenzwert für Folgen

Meine Frage:
Hi,
ich muss den Grenzwert einer Folge berechnen und scheitere am ^n:

lim (0,5)^n+2*4^n/5*4^n-2*3^n, für n bis unendlich.

Wäre für eine Beschreibung des Rechenwegs sehr dankbar.

Meine Ideen:
K.A.

24.11.2010, 17:20

mYthos

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Schreibe bitte einmal den Term so, dass man ihn auch lesen kann.

mY+

24.11.2010, 17:39

Carsten222

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(0,5^n+2*4^n)/(5*4^n-2*3^n), besser kann ichs nicht.

Oder in Worten: 0,5 hoch n + 2 mal 4 hoch n durch (Bruchstrich) 5 mal 4 hoch n - 2 mal 3 hoch n.

24.11.2010, 17:47

baphomet

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So lautet der Term:

$\begin{eqnarray*} \frac{0,5^n+2\cdot4^n}{ 5\cdot4^n-2\cdot3^n} \end{eqnarray*}$

Jetzt stellt sich für mich die Frage, für welches n der Grenzwert gesucht ist.

24.11.2010, 17:49

Carsten222

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Danke, für n bis unendlich.

24.11.2010, 17:51

baphomet

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Das Problem besteht jetzt darin das wir im Zähler einmal
$\begin{eqnarray*} 0,5^n \end{eqnarray*}$ und einmal $\begin{eqnarray*} 4^n \end{eqnarray*}$ stehen haben, wir sollten die gleiche Basis nutzen?
Gleiches gilt für den Nenner, hast du eine Idee wie das geht?

24.11.2010, 17:58

Carsten222

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Nein, dass ich die gleiche Basis brauche weiß ich, aber wie ich dorthhinkomme weiß ich nicht.

24.11.2010, 18:03

baphomet

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$\begin{eqnarray*} \frac{0,5^n+2\cdot4^n}{ 5\cdot4^n-2\cdot3^n} \end{eqnarray*}$

Da wir in Zähler und Nenner den Term 4^n haben, müssen wir die anderen Potenzen
entsprechend umstellen, also 2 mal. So entsteht folgender Ausdruck.

$\begin{eqnarray*} \frac{4^{n\cdot\log_40,5}+2\cdot4^n}{ 5\cdot4^n-2\cdot4^{n\cdot\log_34}} \end{eqnarray*}$

24.11.2010, 18:04

Carsten222

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Und jetzt? 4^n ausklammern?

24.11.2010, 18:07

baphomet

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Probiers mal und schreibe dein Ergebnis hier nieder.

Formel schreibt man

code:
1:	[latex]Hier kommt dein mathematischer Ausdruck hi [/latex]

Um Brüche zu erstellen nutzt man

code:
1:	\frac{Zähler}{Nenner}

24.11.2010, 18:11

corvus

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Zitat:

Original von baphomet
$\begin{eqnarray*} \frac{0,5^n+2\cdot4^n}{ 5\cdot4^n-2\cdot3^n} \end{eqnarray*}$

Da wir in Zähler und Nenner den Term 4^n haben,
müssen wir die anderen Potenzen entsprechend umstellen,
..
.. unglücklich

vergiss das alles
Aufgabe ist: ..den Grenzwert der Folge berechnen ..

und dazu brauchst du den Bruch nur zu kürzen mit 4^n .

danach siehst du sofort, was passieren wird, wenn n->oo smile

24.11.2010, 18:14

Carsten222

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$\begin{eqnarray*} 4^{n} (log a_{4} 0,5 + 2*1) \end{eqnarray*}$

mal der zähler....

24.11.2010, 18:15

Carsten222

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was denn jetzt?

24.11.2010, 18:20

Carsten222

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wenn ich $\begin{eqnarray*} 4^{n} bei 0,5^{n} ausklammer = \frac{1}{8} \end{eqnarray*}$ ?

24.11.2010, 18:23

baphomet

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Hier mal was geplottet

Ändere Möglichkeit besteht darin bei Zähler und Nenner alles zu zerlegen.

$\begin{eqnarray*} \lim n\to\infty=0,5^n=\infty \lim n\to\infty=2\cdot 4^n=\infty \end{eqnarray*}$

Das heißt für den Zähler:

$\begin{eqnarray*} \infty+infty \end{eqnarray*}$

Beim Nenner siehts so aus.

$\begin{eqnarray*} \lim n\to\infty=5\cdot4^n=\infty \lim n\to\infty=2\cdot3^n=\infty \end{eqnarray*}$

Alles zusammen ergibt folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{\infty+\infty}{\infty-\infty} \end{eqnarray*}$

Wobei der erste Term im Nenner schneller wächst als der zweite Term, bleibt aber
immer kleiner als der Zähler weshalb der Ausdruck gegen unendlich geht.

24.11.2010, 18:26

Carsten222

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das hilft mir im moment alles net viel

24.11.2010, 18:32

corvus

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Zitat:

Original von baphomet
Hier mal was geplottet
__________________
Die Wahrheit steht von alleine aufrecht

.

@Carsten222 : du hast völlig Recht:
das hilft mir im moment alles net viel

im Gegenteil , das Bildchen ist falsch .. zumindest hat es nichts
zu tun mit dem Verhalten von
$\begin{eqnarray*} (0,5^n+2*4^n)/(5*4^n-2*3^n) \end{eqnarray*}$
.

24.11.2010, 18:32

Carsten222

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Könnte mir bitte jemand den kompletten Lösungsweg aufzeigen?

24.11.2010, 18:46

mYthos

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@baphomet:

Der Graph wird übersichtlicher, wenn du den y-Bereich anpasst:

mY+

Bemerkung: Hier kann man mal abschätzen, wohin der Grenzwert geht.

@Carsten
Nimm bitte den Weg von corvus, da es ja nur um den Grenzwert geht.
Baphoment meint es zwar gut, macht es aber zu kompliziert.

24.11.2010, 18:49

Carsten222

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Ich wäre immernoch dankbar für einen Rechenweg zur Lösung des Grenzwerts meiner Folge.

24.11.2010, 18:54

mYthos

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Man kann nämlich nach Division durch $\begin{eqnarray*} 4^n \end{eqnarray*}$ den Grenzwert sogar im Kopf berechnen. Dazu muss man wissen, dass Potenzen mit einer Basis kleiner als 1 gegen Null gehen.

mY+

24.11.2010, 18:55

corvus

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Zitat:

Original von Carsten222
Ich wäre immernoch dankbar für einen
Rechenweg zur Lösung des Grenzwerts meiner Folge.

das habe ich dir doch oben schon aufgeschrieben geschockt

kürze den Bruch
$\begin{eqnarray*} \frac{0,5^n+2\cdot4^n}{ 5\cdot4^n-2\cdot3^n} \end{eqnarray*}$

mit 4^n

nebenbei: (0,5)^n / 4^n ist nicht 1/8 unglücklich

24.11.2010, 18:57

baphomet

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@corvus

Wie kürzt man hier?

Sehe es nicht

$\begin{eqnarray*} \frac{0,5^n+2\cdot4^n}{ 5\cdot4^n-2\cdot3^n} =\frac{0,5^n}{5\cdot4^n-2\cdot3^n}+\frac{2\cdot4^n}{5\cdot4^n-2\cdot3^n} \end{eqnarray*}$

24.11.2010, 19:01

Carsten222

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also $\begin{eqnarray*} \frac{2}{5} \end{eqnarray*}$

24.11.2010, 19:02

corvus

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Zitat:

Original von baphomet
@corvus

Wie kürzt man hier?

Sehe es nicht

kürzen heisst, Zähler und Nenner durch denselben Term teilen ..
mYthos hat es ja inzwischen auch noch als Kopfrechnung angeboten..
.
.

24.11.2010, 19:10

mYthos

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Der Bruch muss nach dem Kürzen nicht unbedingt "einfacher" werden.
Hier war der Sinn, nach der Division (und Potenzgesetz anwenden!) eine Basis kleiner als 1 zu erhalten.
Also dividiert man immer durch die größte Zahl ...

@Carsten

smile

Hoffentlich nicht nur geraten oder abgelesen. Wirklich gerechnet?

mY+

24.11.2010, 19:17

Carsten222

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Der Hinweis mit der Basis kleiner 1 wars.

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