Induktion Ungleichung

24.11.2010, 17:25

LoBi

Induktion Ungleichung

Sei $\begin{eqnarray*} a_1:=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_n:=a_{n-1}^2-5 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$

Ich will beweisen das $\begin{eqnarray*} a_n \geq n^2 \end{eqnarray*}$
IA ist klar. Beim Induktionsschritt komm ich nich weiter :
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=a_n^2 -5 = (a_{n-1} -5)^2 -5= (a_{n-1})^2-10 a_{n-1} +20 \end{eqnarray*}$

24.11.2010, 17:48

Math1986

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RE: Induktion Ungleichung

Zitat:

Original von LoBi
Sei $\begin{eqnarray*} a_1:=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_n:=a_{n-1}^2-5 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$

Ich will beweisen das $\begin{eqnarray*} a_n \geq n^2 \end{eqnarray*}$
IA ist klar. Beim Induktionsschritt komm ich nich weiter :
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=a_n^2 -5 = (a_{n-1} -5)^2 -5= (a_{n-1})^2-10 a_{n-1} +20 \end{eqnarray*}$

Was ist IA; Anfang oder Annahme?
Schreib mal beides auf

24.11.2010, 17:53

LoBi

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Induktionsanfang n=3
$\begin{eqnarray*} a_n \geq n^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (-4)^2 -5 =16 \geq 3^2=9 \end{eqnarray*}$
Induktionsschritt
zzg: $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \geq (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

und dann habe ich halt die Umformungen gemacht:
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=a_n^2 -5 = (a_{n-1} -5)^2 -5= (a_{n-1})^2-10 a_{n-1} +20 \end{eqnarray*}$

24.11.2010, 18:34

Kawarider90

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beim Induktionsanfang für $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ zeigen

dann würd ich das bisschen anderst angehen
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=a_n^2 -5 \end{eqnarray*}$ bis hierhin würd ichs gleich machen
dann IV einsetzen
dann sehn wir weiter

24.11.2010, 18:39

LoBi

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So: $\begin{eqnarray*} a_n^2 -5 > n^{2^2} -5 > n^3 > (n+1)^2 \end{eqnarray*}$ ?
für $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$ klappt der Induktionsanfang nicht.

24.11.2010, 18:46

Kawarider90

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stimmt, sorry mein fehler

wenn du jetzt $\begin{eqnarray*} n^4 - 5 \end{eqnarray*}$ hast musst du auf die Lösung $\begin{eqnarray*} (n+1)² \end{eqnarray*}$ kommen
dazu musst du eine weitere Ungleichung mittels Induktion beweisen

24.11.2010, 19:15

LoBi

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Diese Ungleichung ? $\begin{eqnarray*} n^4 -5 > (n+1)^2 \end{eqnarray*}$
n=3
$\begin{eqnarray*} 3^4 -5 > (3+1)^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 76 > 16 \end{eqnarray*}$
zzg: $\begin{eqnarray*} (n+1)^4 -5 > (n+2)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (n+1)^4-5= n^4 +4n^3+6n^2+4n +1 -5 \end{eqnarray*}$
Da komm ich dann auch nicht weiter es

24.11.2010, 19:28

René Gruber

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Warum durch Induktion, man kann es viel schneller direkt nachweisen: Für $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ gilt die Ungleichungskette

$\begin{eqnarray*} n^4-5 \geq 4n^2-5 = n^2+3n^2-5 \geq n^2+6n-5 = n^2+2n+4n-5 \geq n^2+2n+8-5 > (n+1)^2 \end{eqnarray*}$ ,

dabei nutzt man sukzessive die für diese $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ gültigen Abschätzungen $\begin{eqnarray*} n^4\geq 2n^3 \geq 4n^2 \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} 3n^2\geq 6n \end{eqnarray*}$ sowie schlussendlich $\begin{eqnarray*} 4n\geq 8 \end{eqnarray*}$ .

24.11.2010, 19:30

LoBi

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Perfekt Danke!

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