Erzeugtes Monoid aus teilerfremden Zahlen

24.11.2010, 17:39	Carsten531	Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeugtes Monoid aus teilerfremden Zahlen Ich habe keine spezielle Frage, die eine Aufgabe betreffen würde, sondern eher eine allgemeine, die erzeugte Monoide aus teilerfremden natürlichen Zahlen betrifft. Die Monoide werden durch alle denkbaren Summen und Produkte dieser teilerfremden Zahlen erzeugt. Zum Beispiel 5 und 8. Nun wurde gesagt, dass für alle teilerfremden natürlichen Zahlen ab einem Punkt ganz \|N erzeugt wird. Für das Beispiel 5 und 8 wäre dies ab 28, da 28, 29, 30, 31 und 32 von Produkten und Summen der Zahlen 5 und 8 erzeugt werden und alle weiteren Elemente von \|N durch Addition der 5 erreicht werden können. Ich frage mich: Gibt es eine obere Schranke (in Abhängigkeit der erzeugenden Zahlen), ab der dieser Effekt immer auftritt?
24.11.2010, 19:04	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja die gibt es. Eine grobe Abschätzung dafür erhält man so: Seien $\begin{eqnarray} 1 \neq m,n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ teilerfremd. D.h. es gibt $\begin{eqnarray} r,s \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} rm+sn=1 \end{eqnarray}$ . Nun haben r und s natürlich verschiedene Vorzeichen, o.B.d.a sei r negativ und s positiv. Nun ist eine Schranke, ab der der beschriebene Effekt auftritt, gegeben durch $\begin{eqnarray} c :=-rm^2 \end{eqnarray}$ . Denn $\begin{eqnarray} c+i \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} 0\leq i \leq m-1 \end{eqnarray}$ lässt sich darstellen durch $\begin{eqnarray} c+i = c+i(rm+sn)=-rm^2+irm+isn=-r(m-i)m+isn \end{eqnarray}$ Also lassen sich m Zahlen hintereinander wie gewünscht darstellen, folglich ab dann alle Zahlen.

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