Grenzwert bestimmen

16.11.2006, 18:57

chris85

Grenzwert bestimmen

Entscheide ob die nachstehenden Folgen für $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$
konvergieren und bestimmen Sie ggf. den Grenzwert (mit Begründung)

a) $\begin{eqnarray*} a_n=(-1)^n(3n-1)/n \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} a_n=n!/n^n \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} a_n=(n^p)^{1/q} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (p \in Z,q \in N) \end{eqnarray*}$
d) $\begin{eqnarray*} a_n=(n+1)^{1/2}-n^{1/2} \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand helfen und sagen wie ich bei so einer aufgabe anfange?

16.11.2006, 19:43

WebFritzi

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Bei der ersten Folge könntest du z.B. zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} b_n := \frac{a_n}{a_{n+1}} \end{eqnarray*}$

gegen -1 konvergiert. Würde die Folge konvergieren, müsste (b_n) gegen 1 konvergieren. Ein Widerspruch!

16.11.2006, 19:52

sqrt(2)

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RE: Grezwert bestimmen

Zitat:

Original von chris85
$\begin{eqnarray*} a_n=(-1)^n(3n-1)/n \end{eqnarray*}$

Du kannst leicht zeigen, dass das Produkt zweier beschränkter Folgen ebenfalls eine beschränkte Folge ist. Damit kannst du bestimmte Divergenz ausschließen. Zur Nichtkonvergenz kannst du zwei gegen unterschiedliche Werte konvergierende Teilfolgen angeben.

Zitat:

Original von chris85
b) $\begin{eqnarray*} a_n=n!/n^n \end{eqnarray*}$

Die Abschätzung $\begin{eqnarray*} n!\leq n^n \end{eqnarray*}$ ist leicht, damit ist diese Folge auch beschränkt. Dann kannst du zeigen, dass sie streng monoton fallend ist.

Zitat:

Original von chris85
c) $\begin{eqnarray*} a_n=(n^p)^{1/q} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (p \in Z,q \in N) \end{eqnarray*}$

Du kannst zu jedem k zeigen, dass fast alle Folgenglieder größer als k sind, was ja die Definition der Divergenz gegen unendlich ist.
edit: p aus Z habe ich übersehen. In diesem Fall musst du eine Fallunterscheidung treffen, je nachdem ob p positiv, null oder negativ ist. p = 0 ist einfach, p > 0 habe ich oben behandelt, p < 0 geht mit der Definition des Grenzwerts.

Zitat:

Original von chris85
d) $\begin{eqnarray*} a_n=(n+1)^{1/2}-n^{1/2} \end{eqnarray*}$

Durch geschicktes Erweitern kannst du zeigen, dass es sich um eine Nullfolge handelt.

16.11.2006, 20:12

WebFritzi

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RE: Grezwert bestimmen

Zitat:

Original von sqrt(2)

Zitat:

Original von chris85
b) $\begin{eqnarray*} a_n=n!/n^n \end{eqnarray*}$

Die Abschätzung $\begin{eqnarray*} n!\leq n^n \end{eqnarray*}$ ist leicht, damit ist diese Folge auch beschränkt. Dann kannst du zeigen, dass sie streng monoton fallend ist.

Much too complicated, würd ich mal sagen. Einfach Nenner und Zähler ausmultiplizieren. Dann sieht man sofort, dass das n-te Folgenglied kleiner als 1/n ist.

18.11.2006, 15:00

chris85

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Also okay, ich hab mir die vorschläge jetzt schon öfters angeschaut aber ich versteh eben nur bahnhof! ich bisher noch nichts mit konvergenz, divergenz am hut gehabt. könnte sich jemand vllt zeit für mich nehmen und die erste Aufgabe mit mir durch gehen sodass ich die nächsten vllt selbst hinbekomme?
Wäre super nett!

18.11.2006, 15:32

sqrt(2)

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Die Aufgaben sind alle recht unterschiedlich. Wenn du zudem mit Konvergenz und Divergenz nichts am Hut gehabt hast, dürfte selbst das Vorrechnen aller Aufgaben nichts bringen.

Du musst dir die entsprechenden Definitionen und Sätze schon selbst aneignen, ein Analysislehrbuch ist niemand von uns. Wenn du Verständnisprobleme bei einer bestimmten Definition hast (ein gutes Analysislehrbuch sollte die hier notwendigen Definitionen allerdings ohnehin ausführlich erläutern, weil sie absolut grundlegend sind), oder einen Beweis zu einem Satz nicht verstehst, kannst du natürlich hier im Forum fragen. Den ganzen Stoff vorexerzieren wird dir hier aber niemand.

Wenn du kein entsprechendes Werk zur Hand hast, ich finde dieses Skriptum recht gut (bei S. 43 fängt der hier hauptsächlich relevante Teil an).

18.11.2006, 15:43

chris85

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also die definitionen etc. hab ich mir natürlich schon durchgelesen... ich habe allerdings noch nie eine aufgabe mit konvergenz gemacht! ich denke wenn man einmal eine gemacht hat und gesehen hat wie man das lösen kann, dann kann man das auch auf andere fälle anwenden

18.11.2006, 15:48

sqrt(2)

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Es ist ziemlich mühsam, hier alles auf die Definition des Grenzwertes zurückzuführen. Eigentlich würde ich das hier nur bei Aufgabe c) für den Fall p < 0 machen. Welche bequemeren Möglichkeiten du hast, haben wir dir oben ja schon dargelegt, versuch dich doch einmal daran.

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