Direkte Summe |
| 24.11.2010, 19:24 | curo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Direkte Summe Hallo an alle, Ich hoffe ihr Könnt mir bei einem kleinen Verständnisproblem helfen, Wir hatten letzte Woche den Beweis für die direkte Summe gehabt, und hier im Matheboard wurde schonmal darauf eingegangen (wobei ich die Beweisführung hier im Matheboard sehr schön fand). Doch ein Kommilton von mir hat mich irgendwie durcheinander gebracht, sodass ich hier die Letzten Lücken schließen möchte. Also. Die direkte Summe von den U,W von V ist ja nichts weiter als der Durchschnitt von U,W der nur die Menge Nullvektor enthält. Nun dieser Durchschnitt selbst bildet ja auch einen Unterraum von V. Nun ist meine Frage: Wie sehen die Vektoren in diesem Unterraum aus? Meine Ideen: Mein Kommilton meinte (also wenn wir jetz von R^4 ausgehen), dass z.B. (6,6,6,6)+(-6,-6,-6,-6)=(0,0,0,0) eindeutig wäre. Aber dies läst sich doch auch als (3,3,3,3)+(3,3,3,3)+(-6,-6,-6,-6)=(0,0,0,0) darstellen. Da der Nullvektor so aus unendlich vielen Vektoren als Summe dargestellt werden kann, würde es sich doch nicht um eine direkte Summe handeln. Also kann die direkte Summe doch nur als Nullvektor+Nullvektor=Nullvektor dargestellt werden (in jedem Vektorraum), oder? Noch ne kurze Frage: Ist denn Nullvektor-Nullvektor=Nullvektor keine andere Summendarstellung? |
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| 24.11.2010, 19:36 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Direkte Summe
Das ist der springende Punkt! Wenn du eine direkte Summe von Vektorräumen hast, dann lässt sich der Nullvektor eindeutig als Nullvektor + Nullvektor darstellen (oder halt Minus). Eine Darstellung (6,6,6,6) + (-6,-6,-6,-6) = (0,0,0,0) ist im Sinne der direkten Summe nicht zulässig, da die zwei Vektoren aus dem gleichen Vektorraum stammen. Man muss ja gerade zwei Elemente aus den zwei verschiedenen Vektorräumen wählen. Wie immer: Wenn es nicht klar ist, weiter fragen! 
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| 24.11.2010, 19:40 | curo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Direkte Summe aber Nullvektor+Nullvektor ist doch aus einem eizigen Vektorraum oder nicht nämlich dem aus dem Vektorraum der direkten Summe? Und der einzige Vektor der direkten Summe ist der Nullvektor, also hatte ich damit Recht. Kannst du mir ein Bespiel geben mir Zahlen am besten(2 Vekt. aus 2 VR)? |
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| 24.11.2010, 20:04 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hmmm, verstehen wir uns? Ich sag noch mal, wie ich das sehe und du dann, ob ich dein Problem richtig vertstanden habe. Eine Summe von VR V = U + W heißt direkt genau dann, wenn jeder Vektor aus V als eindeutige Summe v = u + w mit u aus U und w aus W darstellbar ist. So weit, so gut. Deine Überlegung jetzt: Was ist mit dem Nullvektor? Denn kann man doch auf vielfältige Art darstellen - und meine Antwort darauf: Nein. Man kann ihn nur als 0 + 0 darstellen. Die zwei Nullen sind hier dann schon die gleiche, aber man kann es auch so sehen, dass die eine Null aus U kommt und die andere aus W. Dennoch kann man sie nicht anders darstellen. Ist das klar oder hab ich dich vollkommen falsch verstanden? |
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| 24.11.2010, 22:30 | curo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich habs nun verstanden, danke nochmal |
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