nachfolger einer reellen zahl

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Mazze Auf diesen Beitrag antworten »
nachfolger einer reellen zahl
Also, ich hatte es in einem anderen thread bereids erwähnt, ich und ein Freund von mir haben uns mal (Scherzhaft) ein Zahlsystem überlegt. Es geht dabei darum das man den Nachfolger einer reellen Zahl nicht bestimmen kann. Wir haben uns eine imaginäre zahl (ähnlich der aus den Komplexen zahlen) überlegt, die den nachfolger einer reellen zahl beschreibt.

man schreibt also



Man müsste natürlich speziell addition und multiplikation definieren. Für addition hätte ich sogar eine idee

seien x+p und y+p zwei nachfolger von reellen zahlen dann gilt

(x+p) + (y+p) = (x+y)+(p+p)

(x+p) + (y) = (x+y) + p

Dabei ist p natürlich ein undendlicher bruch



für x gegen unendlich, ist also quasi als grenzwert definiert, aber nicht als 0 gehalten sondern direkt als diese ewige 0.0... .

Assoziativität wäre gegeben (für addition) da für den "realteil" die normalen regeln gelten

zZ:
(x+p) + (y+p) = (y+p) + (x+p)

(x+p) + (y+p) = def (x+y) + p+p = (y+x) + 2p = (y+p)+(x+p)

neutrales element der addition wird direkt als 0 aus R definiert, da 0 zum nachfolger von R addiert ergibt den nachfolger.

inverses der addition:

sei -p der vorgänger einer reellen zahl
zZ:

(x+p) - (x-p) = (x-x) + (p-p) = 0 + 0

wobei definiert wird p + (- p) = 0

Das ist ein etwas komischer punkt da der nachfolger normal größer als der vorgänger ist und somit != 0. Aber das ist ja nur ein rohbau.
Die frage ist wie würdet ihr multiplikation und ähnliches definieren?
Das hier soll nur ein kleiner "fun" thread sein da ich nicht glaub das sich damit ernsthaft was machen lässt. Is ja nicht umsonst offTopic.

Ach ja mir schwebt ein Bewiesverfahren ähnlich der vollständigen induktion vor die aussage über x und x+p trifft.

smile
juergen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: nachfolger einer reellen zahl
Zitat:
Original von Mazze
...ich und ein Freund von mir...

:P ich und der Esel :P
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
ich und der Esel


ach man , man kann dochmal bissel übern strang hinausschiessen oder nich? : )
TBird Auf diesen Beitrag antworten »

irgendwie genügt mein intellekt nicht dazu um dieses zahlensystem zu begreifen...nuja ich fang ja auch erst im oktober an zu studieren Augenzwinkern
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »
RE: nachfolger einer reellen zahl
Zitat:
Original von Mazze
Also, ich hatte es in einem anderen thread bereids erwähnt, ich und ein Freund von mir haben uns mal (Scherzhaft) ein Zahlsystem überlegt. Es geht dabei darum das man den Nachfolger einer reellen Zahl nicht bestimmen kann. Wir haben uns eine imaginäre zahl (ähnlich der aus den Komplexen zahlen) überlegt, die den nachfolger einer reellen zahl beschreibt.


Derartige Spielereien sind in der Mathematik durchaus üblich, sie haben nur stets irgendwelche hochtrabenden Namen.

Zitat:

seien x+p und y+p zwei nachfolger von reellen zahlen dann gilt

(x+p) + (y+p) = (x+y)+(p+p)

(x+p) + (y) = (x+y) + p


Soweit ist das alles noch formal handhabbar.

Zitat:

Dabei ist p natürlich ein undendlicher bruch



für x gegen unendlich, ist also quasi als grenzwert definiert, aber nicht als 0 gehalten sondern direkt als diese ewige 0.0... .


Mit diesem "Gedankengut" wäre ich allerdings sehr viel vorsichtiger. Augenzwinkern
Da der Grenzwert gleich 0 ist, ist er zur Beschreibung von p ungeeignet.

Besser ist es, einfach p ohne nähere Definition als ein zusätzliches Symbol zu betrachten, dass in die Ordnung der reellen Zahlen zwischen 0 und den positiven reellen Zahlen eingefügt wird. Damit wird p zu einer Infinitesimalzahl.


Zitat:
Assoziativität wäre gegeben (für addition) da für den "realteil" die normalen regeln gelten

zZ:
(x+p) + (y+p) = (y+p) + (x+p)

(x+p) + (y+p) = def (x+y) + p+p = (y+x) + 2p = (y+p)+(x+p)

neutrales element der addition wird direkt als 0 aus R definiert, da 0 zum nachfolger von R addiert ergibt den nachfolger.


Auch hier ist alles formal rechenbar, sobald du dazusagst, dass die Addition mit p assoziativ und kommutativ ist.

Zitat:
inverses der addition:

sei -p der vorgänger einer reellen zahl
zZ:

(x+p) - (x-p) = (x-x) + (p-p) = 0 + 0

wobei definiert wird p + (- p) = 0

Das ist ein etwas komischer punkt da der nachfolger normal größer als der vorgänger ist und somit != 0. Aber das ist ja nur ein rohbau.


Hier ist dir ein Rechenfehler unterlaufen:
Es ist (x+p) - (x-p) = (x-x) + (p+p) = 2p, wie man es erwarten würde.

Zitat:
Die frage ist wie würdet ihr multiplikation und ähnliches definieren?


Hier wird's nun interessant, und hier zeigt sich, welche Struktur du bekommst.

Eine Möglichkeit ist, einfach zu sagen: p*p = p^2, man kann p-Produkte nicht weiter zusammenfassen. Damit erhältst du erstmal eine Struktur, die gleichwertig zur Menge der Polynome mit reellen Koeffizienten ist. Ein Element dieser Menge ist z.B. die "Zahl" 12 + p - 2*p^2. Das ist größer als 12, aber kleiner als jede beliebige reelle Zahl, die größer ist als 12. (Und auch kleiner als 12+p.) Leider hat diese Menge nicht mehr die Eigenschaft, die du eigentlich haben wolltest - es gibt schon wieder keinen Nachfolger, denn z.B. 12+p/2 liegt zwischen 12 und 12+p. Nun hast du noch die Wahl, ob du Kehrwerte zulässt oder nicht. Wenn ja, dann ist 1/p der Kehrwert von p, und deine Menge besteht aus allen Brüchen von Polynomen in der Unbestimmten p, ist also strukturgleich (isomorph) zum Körper R(p) der rationalen Funktionen über R. Wenn du keine Kehrwerte zulässt, bleibst du beim Polynomring R[p] und hast keinen Körper.

Eine andere Möglichkeit ist, zu definieren: p*p = 0. Damit erhältst du aber keinen Körper, d.h. nicht jedes Element hat einen Kehrwert, p. z.B. hat dann keinen. Sobald du aber die Multiplikation x*p für beliebige reelle Zahlen zulässt, hast du auch hier keinen Nachfolger mehr. Diese Struktur ist nicht nullteilerfrei, und lässt sich darstellen als Faktorring R[p]/(p^2).

Eine weitere Möglichkeit ist, die Multiplikation nicht zu definieren. Dann wäre weder sqrt(2)*p noch p*p definiert, und du behältst die Nachfolger. 3*p wäre dann einfach die Summe p+p+p. Leider sind diese Objekte dann kaum noch als Zahlen zu bezeichnen. Diese Menge ist der Z-Modul R+Zp = { x + z p | x aus R, z aus Z }.

Es gibt noch einige andere Möglichkeiten, die mir aber gerade nicht einfallen. (p*p = p wäre z.B. noch eine)

Zitat:

Das hier soll nur ein kleiner "fun" thread sein da ich nicht glaub das sich damit ernsthaft was machen lässt. Is ja nicht umsonst offTopic.

Ach ja mir schwebt ein Bewiesverfahren ähnlich der vollständigen induktion vor die aussage über x und x+p trifft.


Man kann damit durchaus was machen, nur leider nicht das, was du dir erhofft hast.

Gruss,
SirJective
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Hui :]...

Tjo die multiplikation is da echt gemein. Mir fehlt schon fast die vorstellung nach welchem prinziep die multiplikation im natürlichen mit dem nachfolger verläuft

succ(a)*succ(b) = c

wobei man c nich mehr in die nachfolgerbeziehung bekommt ausser man gibt sie abhängig von den zahlen a und b an.

succ(0)*succ(0) =

succ(1)*succ(1) =

Das problem is man kann die Argumente an die multiplikation beliebig varieren, dafür n allgemeines schema wäre vieleicht sinnvoll um die multiplikation für den reellen raum zu definieren. Aber was kommt raus wenn man den nachfolger einer reellen zahlen mit einem nachfolger einer reellen zahl multipliziert? Schätze bevor nicht klar ist was das eigentlich heissen soll, kann man da nicht viel machen.
Klar ist das p*p eine reelle zahl ergeben muss, aber wie sieht das Produkt von zwei nachfolgern aus. Man müsste dieses "Objekt" erstmal in eine NAchfolgerbeziehung einordnen , vieleicht ist dann was möglich verwirrt
 
 
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mazze
Klar ist das p*p eine reelle zahl ergeben muss, aber wie sieht das Produkt von zwei nachfolgern aus.


Sei vorsichtig mit deiner Wortwahl. Warum sollte p*p eine reelle Zahl sein, wenn nichtmal p eine ist? Augenzwinkern
Sobald p*p eine reelle Zahl ist, liegt die Versuchung nahe, für p einen reellen oder komplexen Wert anzugeben.

Das Produkt der Nachfolger ist doch einfach: succ(a)*succ(b) = a*b + b + a + 1.
Dabei ist a+1 := succ(a), a*1 := a und a+b:=succ(a+pred(b)), a*b := a*pred(b) + a für b>1.
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