Quadratische Ungleichungen / Funktionen / Bruchungleichung

24.11.2010, 19:37

Broly

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Quadratische Ungleichungen / Funktionen / Bruchungleichung

Guten Abend,

mal wieder ein paar Aufgaben wo ich mir unsicher bin.

1)

Bestimme die Lösungsmenge der Bruchungleichung in der Grundmenge R \ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3x}{2x-1} > 1 \end{eqnarray*}$

1/2 nicht weil x sonst 0 werden würde und division durch 0 nicht erlaubt ist.

$\begin{eqnarray*} 3x(2x-1) > 2x - 1<br /> 6x²-3x > 2x -1<br /> 6x² - 5x +1 > 0<br /> x² - \frac{5}{6}x + \frac{1}{6} > 0<br /> \end{eqnarray*}$

//Edit: teil der nicht der Aufgabenstellung entsprach rausgenommen

2)

Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung

$\begin{eqnarray*} -2x² + x +1 \geq 0 | \cdot -\frac{1}{2}<br /> x² - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \leq 0 \end{eqnarray*}$

einsetzen in die pq Formel gibt:

$\begin{eqnarray*} x1 = 1 + \frac{3}{2} <br /> x2 = 1 - \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

allerdings erfüllt nur x2 x < 0 somit ist nur x2 meine Lösuing?

3)

Bestimmen sie für die folgende quadratische Funktion f: R->R mit der Funktionsgleichung.

$\begin{eqnarray*} x²-12x+32 \end{eqnarray*}$

1. die Scheitelpunktform,
2. die Nullstellen,
3.den Schnittpunkt mit der Y-Achse

$\begin{eqnarray*} x² - 12x + 32 = 0 | +4<br /> x² - 12x + 36 = 0<br /> (x-6)² -4 = 0<br /> <br /> \end{eqnarray*}$
somit S (-6|-4)

Nullstellen:
pq-Formel auf $\begin{eqnarray*} x²-12x+32 \end{eqnarray*}$ anwenden:

$\begin{eqnarray*} x1 = 8 <br /> x2 = 4 \end{eqnarray*}$

Schnittpunkt mit der Y-Achse ist +32

4)

Berechne die Nullstellen für $\begin{eqnarray*} x³+2x²+2x + 1 \end{eqnarray*}$

durch Raten ergibt die erste Nullstelle x1 = -1 ;

die benutz ich dann für die Polynomdivision, was dann folgendes ergibt:

$\begin{eqnarray*} x² + x + 1 \end{eqnarray*}$
, da mich das aber zum ziehen einer negativen Wurzel bringen würde habe ich sicherlich was falsch gemacht ^^

hier mal meine Rechnung:
$\begin{eqnarray*} (\frac{x³ + 2x² }{\frac{-x³-x²}{\frac{x²+2x}{\frac{-x²-1x}{\frac{x+1}{\frac{-x-1}{0}}}}}}+2x +1) (x +1) =x² + x +1 \end{eqnarray*}$

sorry für die doofe dastellung.

Grüße

24.11.2010, 19:54

Equester

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Hi Broly

Wink

Schon im ersten Schritt ein Fehler...
Du erweiterst doch beide Seiten mit 2x-1...warum steht es bei dir dann links
im Zähler? Oo DU hast es doch mit dem Nenner gekürzt!

24.11.2010, 20:47

Broly

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Ich bekomme die Kriese traurig

traurig

recht hast du. Ich rechne immer zu schnell ohne sinn und verstand und ohne zwischenschritte damit kommts zu so doofen Fehlern -.-.

Richtig wäre :

$\begin{eqnarray*} \frac{3x}{2x-1} > 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3x > 2x-1<br /> x > -1 \end{eqnarray*}$

Allerdings darf es ja nicht $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ sein? wäre aber mit dem Breich mit drinne ?

Müsste ich eigentlich eine Fallunterscheidung machen? x < 1/2 und x > 1/2 ?

Falls ja, würde ich beim Fall x<1/2

$\begin{eqnarray*} 3x < -2x+1<br /> 5x < +1 <br /> x < \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$

dann hätte ich auch ein Ergebniss mit Sinn ^^ sofern ich richtig gerechnet hätte.
-1 < x < $\begin{eqnarray*} \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$

24.11.2010, 21:01

Equester

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Das ist auch so nicht korrekt. Auch wenn näher dran^^

Du hast hier keine Betragsstriche! Das Vorzeichen wird demnach nicht umgedreht.
Nur das größer-kleiner-Zeichen! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Was erhälst du dann?

Ich fang jeweils mal an Augenzwinkern

Augenzwinkern

Für x>1/2
3x>2x-1

Für x<1/2
3x<2x-1

Nun du Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.11.2010, 21:08

Broly

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Ich verstehe nicht warum man die Vorzeichen nicht umdreht weil eigentlich soll es ja was negatives sein, deswegen dreht man ja auch das Zeichen.

ansonsten ergibt sich :
x>-1
und
x < -1

und nun, sieht für mich nach "keiner" Lösung aus ^^ ?

EDIT:

mir fällt auf nur das 2. wäre eine Lösung oder ?

24.11.2010, 21:11

Equester

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ansonsten ergibt sich :
x>-1
und
x < -1

Falsch

beachte was drüber steht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Für x>1/2 oder Für x<1/2

Du kannst auch die Vorzeichen drehen, aber dann nicht das Zeichen!
Entweder oder Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn du beides machst, hast du keine Veränderung vorgenommen
Minus und Minus ist Plus Augenzwinkern

Augenzwinkern

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24.11.2010, 21:17

Broly

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grml.

Für x > 1/2
3x > 2x-1
x > -1

da x aber 1/2 nicht sein darf wäre L = x > 1/2 ?

Für x<1/2
3x<2x-1

x < -1

L = x < -1

24.11.2010, 21:19

Equester

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Geht doch

Big Laugh

Das ist korrekt.
Nun beides zusammenführen Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.11.2010, 21:26

Broly

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Wie soll ich die zusammenführen? xD

L1 = (-unendlich, -1]
L2= [1/2 , + unendlich)

allerdings darf 1/2 ja eigentlich nicht mit rein ^^
Kann mir unter der Lösung an sich was vorstellen. Das sind 2 Lösungsräume ind 2 verschiedene Richtungen + und - nur der Wertebereich von -1 bis 1/2 ist ausgeschlossen.

Grüße

24.11.2010, 21:33

Equester

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Das ist richtig.
Allerdings darf auch die -1 nicht mit rein Augenzwinkern

Augenzwinkern

L=(-unendlich, -1) und (1/2, unendlich)

-> L=x€R\{x=(-1;0,5)}

Ich glaub so kann mans schreiben^^
(Sry Notationen sind nicht so mein Ding haha)

24.11.2010, 21:37

Broly

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Okay Danke ;D
Was hab ich sonst noch so für schwachsinn angestellt ^^ ?

24.11.2010, 21:40

Equester

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Bei deiner pq-Formel hast du wohl einen Fehler gemacht.
Die Lösungen stimmen nicht.

Aber es geht viel einfacher.
Stell dir doch mal vor, was du hier hast!
Eine nach unten geöffnete Parabel! Du möchtest nun wissen, wo
die Parabel über der x-Achse ist!
Finde die Nullstellen und bestimme damit den Bereich...entweder innerhalb
der Nullstellen, oder außerhalb Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.11.2010, 21:45

Broly

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Hatte die Gleichung ja auch falsch umgeformt ^^ somit kein wunder das das falsch ist. Aber ich bin auch total doof ^^ merke gerade ist gar kein Teil der Aufgabenstellung. kA wie mir das dazwischen gerutscht ist . bei der aufgabe sollte ich nur den Lösungsraum bestimmen und das haben wir gemacht.

Aber was mich jedoch mal interessiert xD woher hättest du gewusst das wir eine nach unten geöffnete Parabel hätten?

Grüße

btw. hoffe das du wieder gesund bist!.

24.11.2010, 21:49

Equester

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?! Wir lösen die Aufgabe jetzt! Du hast sie schon gestellt! Big Laugh

Big Laugh

Das Vorzeichen vor dem x² gibt an, ob die Parabel nach unten geöffnet ist, oder
nach oben.
+ -> Nach oben geöffnet
- -> Nach unten geöffnet

Dann noch das >,<-Zeichen beachtet und schon hast du seeehr viele wertvolle Infos Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.11.2010, 21:58

Broly

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Equester
?! Wir lösen die Aufgabe jetzt! Du hast sie schon gestellt! Big Laugh

Big Laugh

Das Vorzeichen vor dem x² gibt an, ob die Parabel nach unten geöffnet ist, oder
nach oben.
+ -> Nach oben geöffnet
- -> Nach unten geöffnet

Dann noch das >,<-Zeichen beachtet und schon hast du seeehr viele wertvolle Infos Augenzwinkern

Augenzwinkern

1. sind wir eig. beide bei der gleichen Aufgabe ^^ bei der 1? Bruchungleichung? ^^

da haben wir doch gar kein x² mehr. hatte doch falsch gerechnet ^^

Grüße

24.11.2010, 22:00

Equester

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Assoo?!

nein, die erste ist abgeschlossen und richtig^^
Wir sind grad bei der zweiten :P

Ich hatte dein:
Was hab ich sonst noch so für schwachsinn angestellt ^^ ?

Als Hinweis verstanden, dass du nun bereit bist, die weiteren Aufgaben zu machen^^

24.11.2010, 22:07

Broly

Auf diesen Beitrag antworten »

War ich auch. Nur i.wie hab ich das auch vercheckt.

Btw. sehe mir ist da ein fehler unterlaufen meine Ergebnise waren eig:

$\begin{eqnarray*} x1 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} <br /> x2 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$

Ansonsten wenn ich aber deinem Gedankenspiel folge :
x² zeigt ob nach oben oder unten geöffnet ist macht sinn.

Den Rest versteh ich nicht ^^

Zitat:

Aber es geht viel einfacher. Stell dir doch mal vor, was du hier hast! Eine nach unten geöffnete Parabel! Du möchtest nun wissen, wo die Parabel über der x-Achse ist! Finde die Nullstellen und bestimme damit den Bereich...entweder innerhalb der Nullstellen, oder außerhalb Augenzwinkern

24.11.2010, 22:11

Equester

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Deine Nullstellen sind weiterhin falsch.
Schreibe mir doch bitte mal deine eingesetzte pq-Formel hin

Hmm, siehe dieses Schaubild:

Gefragt ist, dass die Funktion größer Null sein soll...das ist sie genau zwischen den
beiden Nullstellen

Sie wäre genau dann kleiner, wenn sie außerhalb der Nullstelle wäre!

So besser verständlich? Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.11.2010, 22:22

Broly

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Equester

Gefragt ist, dass die Funktion größer Null sein soll...das ist sie genau zwischen den
beiden Nullstellen

Sie wäre genau dann kleiner, wenn sie außerhalb der Nullstelle wäre!

So besser verständlich? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ja macht sinn. Bei allen Werten ausserhalb der Nullstellen würde werte rauskommen die negativ sind?

-2x² + x +1 > 0 | *- $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
x² - $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ x - $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ < 0

$\begin{eqnarray*} +1 +/- \sqrt{(-\frac{1}{\frac{2}{2}})² - (-\frac{1}{2})}<br /> +1 +/- \sqrt{1 + \frac{1}{2}}<br /> +1 +/- \sqrt{ \frac{3}{2}}<br /> \end{eqnarray*}$

24.11.2010, 22:26

Equester

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Was ist die Hälfte von 1/2? :P

1? Sicher?

24.11.2010, 22:32

Broly

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redest du jetzt von der ersten 1 bei der pq Formel?

pq Formel ist doch

$\begin{eqnarray*} -\frac{p}{2} +/- \sqrt{(\frac{p}{2})² - q } \end{eqnarray*}$

wenn p = 1/2 ist hab ich ja $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{2}{2}} \end{eqnarray*}$ was für mich 1 ergibt.

ansonsten ist die hälfte von 1 /2 natürlich 1/4 ^^

EDIT: ich merke gerade wie dumm das eigentlich ist!

setz ich anstatt 1/2 0,5 ein hab ich auch 0,5 / 2 somit 0,25

trotzdem check ichs nicht. dachte bisher immer das mans so machen muss ^^ / kann.
und wenn ich 0,25 einsetzen würde machts auch keinen sinn dann hätte ich n - in der wurzel.

24.11.2010, 22:36

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Schon besser! Dein Edit! Augenzwinkern

Augenzwinkern

so siehts richtig aus!

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{2}}{2} \end{eqnarray*}$

24.11.2010, 22:45

Broly

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Equester
Schon besser! Dein Edit! Augenzwinkern

Augenzwinkern

so siehts richtig aus!

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{2}}{2} \end{eqnarray*}$

hab meinen dummen Fehler gefunden habe aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{2}}{2} \end{eqnarray*}$ =>

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1} \end{eqnarray*}$

gemacht dabei ist es ja:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2 \cdot \frac{2}{1}} \end{eqnarray*}$
was dann 1/4 ergibt.

24.11.2010, 22:48

Equester

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Bingo

Augenzwinkern

weiter!

24.11.2010, 22:50

Broly

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hab dann

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} +- \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} +- \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

somit +1 und -0.5

24.11.2010, 22:59

Equester

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So ists recht!

Jetzt nur noch rausfinden...ist die Lösungsmenge in den Grenzen...oder außerhalb?

24.11.2010, 23:05

Broly

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Es soll ja x < 0 sein.

damit wäre nur -0,5 recht.

24.11.2010, 23:16

Equester

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unglücklich

-2x² + x +1 > 0

Ich übersetze mal:

"Es ist nur der Teil der Parabel interessant, welcher Größer 0 ist"

24.11.2010, 23:18

Broly

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Hoffe du meinst das Big Laugh

Big Laugh

Die Lösungsmenge liegt zwischen den 0 Stellen.

24.11.2010, 23:20

Equester

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Das ist korrekt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Edit: Ich sehe du hast verstanden^^

Wenn es so lauten würde:
-2x² + x +1 < 0

"Es ist nur der Teil der Parabel interessant, der kleiner 0 ist!"

24.11.2010, 23:22

Broly

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Equester

-2x² + x +1 < 0

"Es ist nur der Teil der Parabel interessant, der kleiner 0 ist!"

Dann wäre der Lösungsraum außerhalb der 0 Stellen weil ja die Parabel nach unten hin immer weiter auseinander geht?!

24.11.2010, 23:25

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Yup

ok zur nächsten Frage:

Du hast die "Lösungen" richtig. Allerdings ist deine Aussage
"+4" falsch. Du erweiterst die linke Seite mit +4-4...als mit 0^^

Hast aber dann richtig gerechnet.

Der Schnittpunkt der y-Achse ist P(32/0). Auch das stimmt, aber besser so schreiben Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.11.2010, 23:30

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Die 4 stimmt so. Für dich gibt es keine weiteren Nullstellen Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.11.2010, 23:31

Broly

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Zitat:

Original von Equester

Du hast die "Lösungen" richtig. Allerdings ist deine Aussage
"+4" falsch. Du erweiterst die linke Seite mit +4-4...als mit 0^^

Der Schnittpunkt der y-Achse ist P(32/0). Auch das stimmt, aber besser so schreiben Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenigstens etwas ^^
+4 -4 ja macht sinn ^^
Hatte quadratische ergänzung nie verstanden, jetzt machts langsam Sinn.

Schnittpunkt der y-Achse ist doch aber P(0 | 32) oder und nicht P(32 | 0) ?

24.11.2010, 23:33

Equester

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P(x|y)

x-Wert an erster Stelle. y-Wert an zweiter Stelle. x ist 0, da uns ja nur die y-Achse interessiert Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.11.2010, 23:33

Broly

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Zitat:

Original von Equester
Die 4 stimmt so. Für dich gibt es keine weiteren Nullstellen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also hat die 4 nur diese eine Nullstelle x = -1 ?

Grüße

24.11.2010, 23:34

Broly

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Zitat:

Original von Equester
P(x|y)

x-Wert an erster Stelle. y-Wert an zweiter Stelle. x ist 0, da uns ja nur die y-Achse interessiert Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ja deswegen ja ? P( 0 | 32 ) oder ?

24.11.2010, 23:35

Equester

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Ups sry, hatte mich nur verschrieben^^

Yep, 4 stimmt so

24.11.2010, 23:38

Broly

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Also dann bin ich scheinbar soweit fertig. Freude

Freude

Ich danke dir mal wieder 1000 mal. Gott

Gott

Gott

Gott

Ich hoffe ich hab dich nicht wieder vom schlafen abgehalten.

Sorry wenn ich dich Hammer

Hammer

mache ^^

Ich bin scheinbar n bissl LOL Hammer

LOL Hammer

24.11.2010, 23:39

Equester

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Gern geschehen smile

smile

Nun, passt schon, chatte grad mit ner Freundin, dann ins Bett^^

Und du machst mich nicht Hammer

Hammer

. Keine Sorge, da gibts ganz andere Fälle^^

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