Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig

24.11.2010, 19:53

analysisisthedevil

Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig

ich muss folgende aufgabe lösen:

$\begin{eqnarray*} \vec{a} = \begin{pmatrix} 13 \\ 9 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{c} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

jetz muss ich eben zeigen ob diese vektoren linear abhängig sind oder nicht.
Ich hab das mal gemacht,is aber schon ewig her.kann mir jemand sagen wie ich das machen muss?

24.11.2010, 20:29

mYthos

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Nachlesen bitte.
Denn es gibt dazu mehrere Methoden.
Ich bevorzuge dazu die Determinantenmethode (wenn dir das etwas sagt).

Allerdings: 3 Vektoren in R2 sind immer linear abhängig. Warum?

mY+

24.11.2010, 20:56

analysisisthedevil

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ok , also ich hab das jetz nachgeschlagen. bestimmte vektoren sind immer linear unabhängig wenn es eben zu jedem vektor genau einen koeffizienten gibt , sodass wenn man die vektoren mit diesen koeffizienten multipliziert und dann addiert , aus diesen vektoren eine basis gebildet wird.
andernfalls sind sie linear abhängig

ich hoff mal das war halbwegs verständlich formuliert

24.11.2010, 21:47

analysisisthedevil

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$\begin{eqnarray*} t_1\vec{x} + t_2\vec{x} +t_2\vec{x} =\vec{0} \end{eqnarray*}$

wenn es möglich ist eine andere lösung als $\begin{eqnarray*} (t_1,t_2,t_3)=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

sodass die gleichung erfüllt is , dann sind die vektoren linear abhängig.

24.11.2010, 22:18

mYthos

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OK. Und findest du jetzt noch eine andere (nichttriviale) Lösung?
Da es für die 3 Variablen nur zwei homogene Gleichungen gibt, muss es eine solche Lösung geben.

Hinweis: Ersetze einen der Parameter durch eine Zahl ungleich Null und löse nach den andere beiden.
----------------

Die Frage war, weshalb 3 Vektoren in R2 stets linear abhängig sind.
Diese kann auch so beantwortet werden, dass es möglich ist, einen der drei Vektoren als Linearkombination der zwei anderen (lin. unabh.) Vektoren darzustellen.

Du hast also zwei Möglichkeiten:
1. Eine nichttriviale Lösung des Systemes zu finden
oder
2. Z.B. die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 13 \\ 9 \end{pmatrix} = r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nach r, s zu lösen.

mY+

24.11.2010, 22:51

andyrue

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Zitat:

Original von mYthos

Allerdings: 3 Vektoren in R2 sind immer linear abhängig. Warum?

mY+

was hieße, dass 4 vektoren in R3 ebenfalls immer linear abhängig sind, weil sich (wenn wir annehmen, dass drei vektoren linear unabhängig sind) der vierte sich auf jedenfall als linearkombination der drei darstellen lassen würde?

je mehr ich drüber nachdenke, desto sicherer bin ich mir, dass es so ist.

mfg andy

24.11.2010, 23:06

mYthos

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Ja, das entspricht so den Tatsachen. smile

mY+

25.11.2010, 13:05

analysisisthedevil

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zu der einen möglichkeit:

also wenn ich mich entscheide zu zeigen , das einer der vektoren durch zwei andere , linear unabhängige vektoren dargestellt werden kann,woher weis ich dann welcher vektor das ist?das geht ja dann nur durch probieren im prinzip oder kann in diesem fall jeder der drei vektoren ,durch die zwei von ihm verschiedenen als linearkombination dargestellt werden?

zu der zweiten:
und bei der anderen möglichkeit wäre es gut wenn mir jemand sagen könnte ob ich das so richtig gemacht habe.

$\begin{eqnarray*} t_{1} \begin{pmatrix} 13 \\ 9 \\ \end{pmatrix} + t_{2} \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ \end{pmatrix} + t_{3} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 13 t_1+ 3t_2 +t_3=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 9 t_1 - t_2 + 3t_3=0 \end{eqnarray*}$

unterbestimmtes gleichungssystem $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ eine unbekannte is freiwählbar . bspw. $\begin{eqnarray*} t_1 = 1 \end{eqnarray*}$
hierzu die frage kann man in diesem fall auch die 0 wählen?

(hier müsste ja eigentlich die aufgabe schon gelöst sein , da für $\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$ ein anderer wert als 0 in Frage kommen kann oder?)
$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_1=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3t_2+t_3 =-13 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} - t_2+3t_3 =-9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_2=-3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_3=-4 \end{eqnarray*}$

eine mögliche lösung wenn für $\begin{eqnarray*} t_1 =1 \end{eqnarray*}$ gewählt wird $\begin{eqnarray*} (t_1,t_2.t_3)=\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

somit ist gezeigt , dass die vektoren linear abhängig sind . da als vorraussetzung für lineare unabhängigkeit $\begin{eqnarray*} (t_1,t_2.t_3)=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die einzige Lösung SEIN MUSS.

25.11.2010, 21:48

mYthos

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Stimmt alles, soweit.

Zur ersten Frage: Prinzipiell kannst du versuchen, jeden der drei Vektoren als LK (Linearkombination) der beiden anderen darzustellen. Voraussetzung ist allerdings, dass die an der LK teilnehmenden Vektoren nicht selbts linear abhängig (--> kollinear) sind.

Deswegen ist der zweite Weg sicherer.

mY+

25.11.2010, 21:57

Pelle

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Zitat:

Original von analysisisthedevil
$\begin{eqnarray*} t_1\vec{x} + t_2\vec{x} +t_2\vec{x} =\vec{0} \end{eqnarray*}$

Nur so nebenbei: Das stimmt so nicht, aber $\begin{eqnarray*} t_1\vec{x_1} + t_2\vec{x_2} +t_3\vec{x_3} =\vec{0} \end{eqnarray*}$

Ich dachte die Lineare Kombinierbarkeit ist spezieller, als die Lineare Abhängigkeit.

25.11.2010, 23:09

mYthos

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Klar. Ich denke, das ist ein Schreibfehler gewesen.
________

Zum anderen: Deswegen sagte ich ja schon, dass der zweite Weg besser/sicherer ist. Die LK bei einem bestimmten herausgegriffenen Vektor funktioniert ja nur unter bestimmten Umständen.

Es gilt jedoch: Wenn n Vektoren linear abhängig sind, so lässt sich mindestens ein Vektor als LK der restlichen anderen Vektoren darstellen. Somit ist diese Definition nicht spezieller als die mit den Multiplikatoren, von denen nicht alle gleich Null sein dürfen.
Man kann auch beweistechnisch leicht von der einen zur anderen Definition überleiten und zeigen, dass diese gleichwertig sind.

mY+

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