z.z.: offene Kreisscheibe ist nicht kompakt. |
| 24.11.2010, 21:37 | Hamsterchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| z.z.: offene Kreisscheibe ist nicht kompakt. ich soll in einer Aufgabe zeigen, dass die offene Kreisscheibe nicht kompakt ist. Den Satz, dass kompakte Menge beschränkt und abgeschlossen sein müssen, darf ich nicht benutzen, sondern man soll es über offene Überdeckungen lösen. Hab leider noch nicht so viel Ahnung von Kompaktheit und weiß deswegen nicht so genau, wie ich das angehen soll. Also eine Menge A ist ja kompakt, wenn jede offene Überdeckung von A eine endl. Teilüberdeckung von A besitzt. Ich weiß jetzt nur nicht so ganz, wie ich das für alle offenen Überdeckungen zeigen soll. Eigentlich finde ich es viel logischer, dass man einfach eine offene Kugel um 0 mit Radius 2 macht, dann wäre die Kreisscheibe ja von einer (also endlich vielen ^^) offenen Teilüberdeckungen bedeckt, aber das stimmt ja nicht ^^ Kann mir jemand helfen? |
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| 24.11.2010, 21:41 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: z.z.: offene Kreisscheibe ist nicht kompakt.
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| 24.11.2010, 21:44 | Hamsterchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: z.z.: offene Kreisscheibe ist nicht kompakt. Ja das dachte ich mir dass das daran liegt. Aber jetzt weiß ich trotzdem nicht, wie ich anfangen soll... Kannst du mir einen Tipp geben? Ist mit der Kreisscheibe eigentlich eine offene Kugel im gemeint? |
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| 24.11.2010, 21:49 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: z.z.: offene Kreisscheibe ist nicht kompakt. Wegen «offene Kreisscheibe» habe ich mir dasselbe vorgestellt (kenne mich aber bei den üblichen Symbolen wie B1(0) nicht aus). Du solltest eine listig-konstruierte Ueberdeckung so finden, dass keine endliche Teilüberdeckung möglich ist. |
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| 24.11.2010, 21:59 | Hamsterchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: z.z.: offene Kreisscheibe ist nicht kompakt. Hmmm wie macht man das am besten? Mir fällt jetzt spontan nur z.Bsp. ein, dass man um alle Punkte des Randes einer Kugel um 0 mit Radius 0,5 offene Kugeln mit Radius 0,5 legt. Die Zusammen sollten dann die offene Kreisscheibe ergeben aber da der Rand einer Kugel ja unendlich viele Elemente hat sind das dann keine endlichen Teilüberdeckungen? Falls das richtig ist, wie schreibt man das am besten auf? |
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| 24.11.2010, 22:14 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: z.z.: offene Kreisscheibe ist nicht kompakt. Deine Idee habe ich leider nicht verstanden. Ich habe auch eine Idee, lasse es aber mit der schriftlichen Ausarbeitung lieber bleiben: Ich würde auf der x-Achse eine Punktfolge (Pn) mit Pn = (1/n,0) wählen. Sie konvergiert gegen den Ursprung (0,0). Wählt man die Pn als Zentren von offenen Einheitskreisen, so überdecken diese Kreise den gegebenen offenen Einheitskreis B1(0). Aber jedes endliche Teilsystem ist keine Überdeckung. |
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| 24.11.2010, 22:21 | Hamsterchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: z.z.: offene Kreisscheibe ist nicht kompakt. Ah ok verstehe, die offene Kreisscheibe wird in deinem Beispiel dann nur im Grenzfall "unendlich" überdeckt, ansonsten würde etwas fehlen. Und deswegen geht es nicht mit endlichen Teilüberdeckungen? In meinem Beispiel habe ich das auch so gemeint, ich versuche es nochmal etwas besser zu erklären (denn ich wüsste gern, ob das auch stimmt). Also du hast ja den Einheitskreis um 0 (ohne Rand). Dann malst du dir einen zweiten Kreis um den Ursprung, der hat aber Radius 0,5, liegt also "mittendrin". Dann nimmst du dir jeden Punkt, der auf dem kleineren Kreis liegt (also auf dem Rand) und malst einen Kreis (offen) mit Radius 0,5 um den Punkt herum. Da der Kreis offen ist, berührt er den Rand vom Einheitskreis nicht. Wenn du das mit allen (unendlich vielen) Punkten machst, dann hat man ja gerade den offenen Einheitskreis, aber wenn man eben nicht alle unendlich vielen offenen Kreise malt, dann fehlen ein paar Punkte die eigentlich zum offenen Einheitskreis hinzugehören. Ok echt blöd zu erklären ^^ Ich hoffe, du weißt, was ich meine =) |
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| 24.11.2010, 23:49 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: z.z.: offene Kreisscheibe ist nicht kompakt. Ja, ich denke, das ist auch eine mögliche der gesuchten Beispiel-Überdeckungen. |
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