Hawaiische Ohrringe - kompakt |
| 24.11.2010, 23:23 | Hamsterchen | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Hawaiische Ohrringe - kompakt habe noch eine Frage zur Kompaktheit =) Und zwar geht es um die Hawaiischen Ohrringe ( ) Also die Vereinigung der Ränder aller Kugeln mit Radius 1/n um den Punkt (1/n,0). Wir sollen zeigen, dass dies kompakt ist aber wenn man den Punkt (0,0) rausnimmt, ist es nicht mehr kompakt. Ich wollte zuerst was mit abgeschlossen und beschränkt versuchen, aber unendliche Vereinigungen abgeschlossener Mengen sind ja nicht unbedingt abgeschlossen. Und jetzt weiß ich mal wieder nicht weiter -.- |
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| 24.11.2010, 23:52 | Quadratzahl-Jan | Auf diesen Beitrag antworten » |
Zeige, dass jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt (das ist ja die Definition von Kompaktheit). Vielleicht guckst du dir mal an, was um den Nullpunkt herum los ist 
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| 25.11.2010, 00:03 | Hamsterchen | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also DASS ich das zeigen muss, weiß ich, aber halt nicht WIE ^^ Um den Nullpunkt herum findet man für jedes Epsilon > 0 ein n s.d. ab diesem n alle Kreise in der Epsilon-Kugel liegen, es ist da also ganz schön voll =) Hmmm mehr fällt mir aber nicht ein =) EDIT: Grad was eingefallen. Also wenn man irgendeine offene Kugel um (0,0) macht, dann liegen alle bis auf endlich viele Kreise in der Kugel. Und für die restlichen Kreise kann man dann einfach ein paar (halt endlich viele) offene Mengen "drüber legen"? Also so im Prinzip, weiß jetzt nicht genau, wie ich das sagen soll ^^ Aber wieso ist es nicht mehr kompakt wenn (0,0) weg ist? |
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| 25.11.2010, 00:15 | Quadratzahl-Jan | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das war ein guter Einfall *g* Zu der Frage, warum die Menge ohne den Nullpunkt nicht kompakt ist: Stell dir mal vor, es gäbe nur einen Kreis, etwa nur den mit Radius 1 (ohne Nullpunkt). |
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| 25.11.2010, 00:19 | Hamsterchen | Auf diesen Beitrag antworten » |
ja dann wäre er ja offen (EDIT: offen dürfte falsch sein, sollte eher nicht abgeschlossen heißen oder?) , also nicht kompakt. und die vereinigung unendlich vieler offener mengen ist wieder offen, also is das ganze ding dann nicht kompakt??? =) wegen meinem einfall... das stimmt dann so in etwa? wie kann ich das am besten aufschreiben? |
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| 25.11.2010, 00:49 | Quadratzahl-Jan | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wenn du den NUllpunkt rausnimmst, hast du eine offene Menge, du betrachtest ja die Schnitte offener Mengen im /R^2 mit den Ringen. Du kannst explizit eine Überdeckung angeben, die keine endliche Teilüberdeckung hat. Das geht eigentlich so ähnlich wie beim offenen Einheitsintervall. Nämlich wenn du den Raum mit offenen Mengen schneidest, die um "1/n" breiter werden. Sorry, dass ich so lange zum antworten brauche, bin etwas müde.... Zu der anderen Frage: Wenn man einen Ball um den Nullpunkt legt, sind alle bis auf endlich veile Kreise schon in diesem Ball enthallten, das ist schonmal gut. Die restlichen Ringe sind jeweils mit der Relativtopolgie versehen kompakt, jeder einzelne kann also immer durch endlich viele überdeckt werden. |
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| 25.11.2010, 00:55 | Hamsterchen | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hmmm die letzte Antwort verstehe ich nicht so ganz (bin auch schon total müde). Welche offenen Mengen schneide ich denn? Es geht doch die ganze Zeit um Vereinigungen. Kann ich denn nicht sagen, dass wenn der Nullpunkt fehlt, dass dann keiner der Kreise mehr abgeschlossen ist, damit also auch nicht mehr kompakt ist und damit dann das ganze Ding nicht mehr kompakt ist. Habe leider keinen Satz über die Vereinigung nicht kompakter Mengen gefunden... Ist mein Weg zur Kompaktheit vom ersten Teil der Aufgabe denn so jetzt richtig? EDIT: Was ist denn eine Relativtopologie? Das hatten wird leider (noch) nicht... |
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| 25.11.2010, 01:14 | Quadratzahl-Jan | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du betrachtest doch einen topologischen Raum. Ein solcher besteht ja immer aus einer Menge, und einer Teilmenge der Potenzmenge, mit bestimmten Eigenschaften. Die offenen Mengen in den Hawaiianischen Ohrringen sind doch die, die man erhält, wenn man die Ringe mit einer im R^2 offenen Menge schneidet, also zum Beispiel mit einenm Epsilon-Ball. Relativtopologie bedeutet das gleiche wie Teilraumtopologie. Sind synome Begriffe. Sorry, falls das verwirrt haben sollte. In deinem topologischen Raum wäre also auch ein Teil des größten Ringes offen in der Teilraumtopolige, etwa ein kleiner Ausschnitt des Ringes in der Nähe des Punktes (1/n,0) Im Allgemeinen können offene Mengen sehr wohl kompakt sein, etwa wenn du einen topologischen Raum mit nur endlich vielen Elementen hast, da ist jede Teilmenge kompakt! Von daher gefällt mir deine Lösung nocht nicht so ganz. Wenn du Rechtecke R_n ohne Rand über die Ringe legst, und dann die Breite des Rechtecks R_{n+1} etwas größer machst, als die Breite von R_n, und zwar so, dass die Folge der Breiten konvergiert, also der Zuwachs immer kleiner wird, überdeckt die unendliche Vereinigung aller Rechtecke alle Ringe, aber wenn du nur endlich viele nimmst, gibt es ein größtes N, sodass R_N in der Teilüberdeckung ist, nur das kann dann nicht alles Überdecken. Sicherlich etwas ungenau und konfus, aber du bekommst das schon hin. |
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| 13.04.2011, 02:09 | Quadratzahl-Jan | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Frage wurde zwar schon vor einiger Zeit gestellt, dennoch eine kurze Ergänzung für die, die es interessiert: Man kann einen stetigen Weg angeben, der surjektiv ist. Bilder kompakter Mengen sind kompakt. Viel kürzer geht es wohl nicht
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