Konvergenz einer rekursiv definierten Folge

25.11.2010, 00:03

hnky

Konvergenz einer rekursiv definierten Folge

hallo!

ich habe probleme mit dieser aufgabe:

Zitat:

Es sei $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine rekursiv definierte folge mit:
$\begin{eqnarray*} x_1=25 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3x_{n+1}=2x_n+10 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
Zeige die konvergenz von $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ gegen 10 auf 2 weisen:
1) durch das monotonieprinzip
2)Zeige, dass $\begin{eqnarray*} |x_{n+1}-10|=\frac{2}{3}|x_n-10| \end{eqnarray*}$
gilt, und beweise so die konvergenz.

Nun habe ich im workshop bereich eine beispielaufgabe gefunden, und wollte bei der 1) ähnlich vorgehen:

zur beschränktheit:
ich wollte durch induktion zeigen, dass $\begin{eqnarray*} 10 \leq x_n \leq 25 \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt

zu $\begin{eqnarray*} x_n \leq 25 \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang ist klar.

beim induktionsschritt komme ich allerdings nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} x_{n+1}=\frac{2}{3}x_n +\frac{10}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{2}{3}(x_n+5) \end{eqnarray*}$

kann ich nun die IV einsetzen?
damit folgt dann nämlich
$\begin{eqnarray*} \leq \frac{2}{3}(25+5) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{50}{3} \leq 25 \end{eqnarray*}$

nach unten:

$\begin{eqnarray*} 10\leq x_n \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang ist wieder klar.

Induktionsschritt: $\begin{eqnarray*} x_{n+1}= \frac{2}{3} (x_n+5) \end{eqnarray*}$
und mit induktionsvorraussetzung dann
$\begin{eqnarray*} \leq \frac{2}{3} (10+5)=10 \end{eqnarray*}$

das würde dann ja hinkommen.

bei der monotonie muss ich ja zeigen, dass $\begin{eqnarray*} x_n\geq x_{n+1} \end{eqnarray*}$ , weil die folge monoton fallend ist:
$\begin{eqnarray*} x_n-x_{n+1} \geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 25-\frac{2}{3}(x_n+5) \end{eqnarray*}$

wenn ich das nach $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ auflöse, erhalte ich $\begin{eqnarray*} x_n \leq 22,5 \end{eqnarray*}$ , was nach der beschränktheit von oben auch gilt.

aus beschränktheit und monotonie folgt ja dann konvergenz.

kann ich das ganze so machen, oder habe ich hier etwas falsch gemacht?

und wie kann ich bei der 2) vorgehen? zu zeigen, dass die gleichung gilt, ist relativ einfach, doch wie lässt sich daraus konvergenz folgern? das ganze erinnert zwar stark an die definition des grenzwertes, doch ich sehe noch nicht, wie ich das anwenden kann.

kann mir jemand einen tipp geben?

danke schonmal im voraus.

25.11.2010, 10:10

klarsoweit

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RE: Konvergenz einer rekursiv definierten Folge

Zitat:

Original von hnky
kann ich nun die IV einsetzen?
damit folgt dann nämlich
$\begin{eqnarray*} \leq \frac{2}{3}(25+5) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{50}{3} \leq 25 \end{eqnarray*}$

Seit wann ist $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}(25+5) = \frac{50}{3} \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von hnky
Induktionsschritt: $\begin{eqnarray*} x_{n+1}= \frac{2}{3} (x_n+5) \end{eqnarray*}$
und mit induktionsvorraussetzung dann
$\begin{eqnarray*} \leq \frac{2}{3} (10+5)=10 \end{eqnarray*}$

Du mußt da nach unten abschätzen, nicht nach oben.

Zitat:

Original von hnky
bei der monotonie muss ich ja zeigen, dass $\begin{eqnarray*} x_n\geq x_{n+1} \end{eqnarray*}$ , weil die folge monoton fallend ist:
$\begin{eqnarray*} x_n-x_{n+1} \geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 25-\frac{2}{3}(x_n+5) \end{eqnarray*}$

Wie kommst du auf die 2. Zeile? Und wo ist die Ungleichung geblieben?

25.11.2010, 18:50

hnky

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danke für die anmerkungen, wahr wohl schon etwas zu spät heute nacht.

ich habe das ganze noch einmal überarbeitet und nun auch hinbekommen, allerdings weiß ich bei der zweiten aufgabe noch nicht wirklich weiter.

hast du eventuell noch einen tipp für mich?

25.11.2010, 19:15

klarsoweit

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Zeige erstmal: $\begin{eqnarray*} |x_{n+1}-10|=\frac{2}{3}|x_n-10| \end{eqnarray*}$

25.11.2010, 19:48

hnky

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$\begin{eqnarray*} |x_{n+1}-10| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =|\frac{2}{3}x_n+\frac{10}{3} -10| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =|\frac{2}{3}x_n-\frac{20}{3} | \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =|\frac{2}{3}(x_n-10) | \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =|\frac{2}{3}| |(x_n-10) | \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{2}{3} |(x_n-10) | \end{eqnarray*}$

25.11.2010, 20:03

klarsoweit

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OK. In Worten bedeutet das:

Der Abstand eines neuen Folgengliedes von 10 beträgt 2/3 des alten Abstandes.
Offensichtlich werden also die Abstände immer mit 2/3 multipliziert. Da kann man sich leicht überlegen, gegen was die Abstände konvergieren.

Das muß man natürlich mathematisch etwas ausformulieren.

25.11.2010, 20:07

hnky

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ohh, danke sehr.

damit ist alles klar smile

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