Ordnungsrelation

25.11.2010, 00:05

JaNa987

Ordnungsrelation

Meine Frage:
Untersuche für a) $\begin{eqnarray*} X = \mathbb N \left\{0\right\} \end{eqnarray*}$ und b) $\begin{eqnarray*} X = Z \ \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ ,ob die durch
xRy: <--> y/ x $\begin{eqnarray*} \in Z \end{eqnarray*}$ definierte Relation eine Halbordnung bzw. Ordnung ist. Begründe dein Ergebnis.

Meine Ideen:
Ich habe die ganze Zeit versucht mit der Definition der Ordnungsrelation die Aufgabe zu lösen, aber ich weiß leider nicht, wie ich vorgehen soll und wie man solche Aufgaben berechnet. Für einen kleinen Ansatz wäre ich sehr dankbar.

25.11.2010, 00:08

JaNa987

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zwischen dem N und 0 fehlt noch das Zeichen "\" genauso wie zwischen dem Z und 0

25.11.2010, 00:43

lgrizu

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nun ja, eine Ordnung ist eine konnexe halbordnung, also untersuchen wir doch zuerst einmal, ob eine halbordnung vorliegt.

deine relation ist, wenn ich das richtig verstehe für a) :

$\begin{eqnarray*} xRy: \frac{y}{x} \in \mathbb Z,~x,y \in \mathbb N \setminus \left\{ 0 \right\} \end{eqnarray*}$

reflexivität ist schon fast trivial, betrachte $\begin{eqnarray*} xRx: \frac{x}{x}=1 \end{eqnarray*}$ .

antisymmetrie:
betrachte dazu x,y, die in relation zueinander stehen, also die menge aller brüche für die gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{y}{x} \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .
dann muss gelten, dass x ein teiler von y ist, also ggT(x,y)=x, was ist nun, wenn $\begin{eqnarray*} \frac{x}{y} \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ , wie sieht der ggT aus, was kann man über x und y sagen?

transitivität:
hier gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{y}{x} \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{z}{y} \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

nun ist x ein teiler von y und y ein teiler von z, was folgt daraus?

25.11.2010, 01:08

JaNa987

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Ist a) nun eine Halbordnung oder habe ich alles falsch verstanden?

25.11.2010, 01:11

lgrizu

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dazu solltest du die fragen, die ich dir gestellt habe beantworten, lies den letzten thread noch mal aufmerksam durch und teile deine schlussfolgerungen mit, vielleicht finden wir es dann ja gemeinsam heraus.

25.11.2010, 01:14

JaNa987

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Ich werde es jetzt versuchen, aber es könnte eine Weile dauern bis ich es verstehe, deshalb bitte ich um Geduld smile

25.11.2010, 01:17

lgrizu

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Zitat:

Original von JaNa987
Ich werde es jetzt versuchen, aber es könnte eine Weile dauern bis ich es verstehe, deshalb bitte ich um Geduld smile

kein problem, im zweifelsfall antworte ich dann morgen Augenzwinkern

vielleicht hilft dir auch das stichwort teilbarkeitsrelation, denn deine relation $\begin{eqnarray*} xRy : \frac{y}{x} \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ bedeutet ja nichts anderes als x|y, also x teilt y.

25.11.2010, 01:21

JaNa987

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Also zu Antisymmetrie könnte ich folgendes sagen x=y oder?

25.11.2010, 01:26

lgrizu

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Zitat:

Original von JaNa987
Also zu Antisymmetrie könnte ich folgendes sagen x=y oder?

ein wenig genauer solltest du dich schon ausdrücken....

wann ist x=y?

edit: ich gehe jetzt schlafen, schaue aber morgen noch mal rein, also, gute nacht Augenzwinkern

25.11.2010, 01:28

JaNa987

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Ohh schade, ich hatte langsam das Gefühl, dass ich die Aufgabe verstehe und nun gehst du schlafen unglücklich

Najaa, ich werde weiter rechnen, und vielen lieben Dank für deine Mühe. Gute Nacht smile

25.11.2010, 01:37

JaNa987

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Also x|y und y|x ---> x=y

Für alle x,y Element aus N gilt : Aus x R y und y R x folgt x=y

Ist das so in Ordnung?

25.11.2010, 08:51

JaNa987

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a) ist doch nicht reflexiv oder? Weil jedes Mal, wenn man x/x ausrechnet, kommt ja 1 heraus, und 1 ist eine ungerade zahl und somit ist a) nicht reflexiv. Richtig??

25.11.2010, 10:09

lgrizu

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Zitat:

Original von JaNa987
Also x|y und y|x ---> x=y

Für alle x,y Element aus N gilt : Aus x R y und y R x folgt x=y

Ist das so in Ordnung?

wenn man noch dazu sagt, für allle elemente $\begin{eqnarray*} \mathbb N \setminus \left\{ 0 \right\} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von JaNa987
a) ist doch nicht reflexiv oder? Weil jedes Mal, wenn man x/x ausrechnet, kommt ja 1 heraus, und 1 ist eine ungerade zahl und somit ist a) nicht reflexiv. Richtig??

liegen in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ nur gerade zahlen verwirrt

25.11.2010, 10:19

JaNa987

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Ich möchte nochmal von vorne beginnen:

Reflexivität: xRx: x/x= 1 und 1 ist ein Element aus Z darausfolgt, dass a) reflexiv ist.

Antisymmetrie: Für alle Elemente aus N \ [latex\left\{ 0\right\} [/latex] gilt: Aus x R y und y R x folgt x= y darausfolgt, dass a) antisymmetrisch ist.

Transitivität: da bin ich ratlos :S

25.11.2010, 10:25

lgrizu

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Zitat:

Original von JaNa987
Ich möchte nochmal von vorne beginnen:

Reflexivität: xRx: x/x= 1 und 1 ist ein Element aus Z darausfolgt, dass a) reflexiv ist.

Antisymmetrie: Für alle Elemente aus N \ $\begin{eqnarray*} \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ gilt: Aus x R y und y R x folgt x= y darausfolgt, dass a) antisymmetrisch ist.

Transitivität: da bin ich ratlos :S

betrachte einmal x,y,z aus den natürlichen zahlen für die gilt:

x|y und y|z. sei nun $\begin{eqnarray*} p_1^{k_1} \cdot .... \cdot p_n^{k_n}=x \end{eqnarray*}$ die primfaktorzerlegung von x, was kann man über die primfaktorzerlegung von y sagen, wenn gilt x|y ?

25.11.2010, 10:30

JaNa987

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Das weiß ich nicht unglücklich

Aber die ersten beiden, also reflexivität und antisymmetrie, sind doch in dieser Schreibweise akzeptabel oder?

25.11.2010, 10:32

JaNa987

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Ich habe schon die ganze Nacht versucht iwelche Definitionen zu verstehen, aber komme nicht weiter, kannst du mir das vielleicht vorrechnen, ich weiß, dass das im Forum nicht erlaubt ist, aber ich habe wirklich alles versucht und verstehe es nicht unglücklich

25.11.2010, 10:35

lgrizu

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naja, y enthält die primfaktoren von x wenn gilt x|y, als sei $\begin{eqnarray*} p_1^{k_1} \cdot .... \cdot p_n^{k_n}=x \end{eqnarray*}$ dann existiert ein k aus den natürlichen zahlen mit k*x=y, also ist

$\begin{eqnarray*} y=k \cdot x =p_1^{k_1} \cdot .... \cdot p_n^{k_n} \cdot p_{n+1}^{k_{n+1}} \cdot ........ \cdot p_{n+m}^{k_{n+m}} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} x =p_1^{k_1} \cdot .... \cdot p_n^{k_n} \end{eqnarray*}$ die primfaktorzerlegung von x ist

und $\begin{eqnarray*} p_{n+1}^{k_{n+1}} \cdot ........ \cdot p_{n+m}^{k_{n+m}} \end{eqnarray*}$ die primfaktorzerlegung von k.

nun gilt auch y|z, was kann man über die primfaktozerlegung von z dann sagen?

25.11.2010, 10:40

JaNa987

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Wird mit der Primfaktorzerlegung die Transitivität bewiesen?

25.11.2010, 10:42

lgrizu

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Zitat:

Original von JaNa987
Wird mit der Primfaktorzerlegung die Transitivität bewiesen?

ja, wir sind bei der transitivität.....

man kann das auch einfacher machen, durch einfaches "hinschauen", aber das würde dir nicht viel bringen, hätte also keinen lerneffekt, deshalb betrachten wir die primfaktorzerlegung, um das einigermaßen anschaulich zu gestalten.

aber jetzt sag mal wie die primfaktorzerlegung von z ausschaut.

25.11.2010, 11:05

JaNa987

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Ich kann das nicht traurig

25.11.2010, 11:16

lgrizu

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Zitat:

Original von JaNa987
Ich kann das nicht traurig

du gibst dir einfach keine mühe...

wenn gilt x|y dann ist y ein ganzzahliges vielfaches von x, also gilt y=k*x für ein k aus den natürlcihen zahlen.

nun gilt auch, y|z, also existiert ein l in den natürlcihen zahlen mit l*y=z.

wir schauen uns die primfaktorzerlegung von x an, diese ist

$\begin{eqnarray*} p_1^{k_1} \cdot .... \cdot p_n^{k_n}=x \end{eqnarray*}$

dann betrachten wir die primfaktorzerlegung von y:

$\begin{eqnarray*} y=k \cdot x =p_1^{k_1} \cdot .... \cdot p_n^{k_n} \cdot p_{n+1}^{k_{n+1}} \cdot ........ \cdot p_{n+m}^{k_{n+m}} \end{eqnarray*}$

ist das soweit erst mal klar?

nun betrachte die primfaktorzerlegung von z:

$\begin{eqnarray*} z= l \cdot y=p_1^{k_1} \cdot .... \cdot p_n^{k_n} \cdot p_{n+1}^{k_{n+1}} \cdot ........ \cdot p_{n+m}^{k_{n+m}} \cdot p_{n+m+1}^{k_{n+m+1}} \cdot .... \cdot p_{n+m+i}^{k_{n+m+i}} \end{eqnarray*}$ .

nun ist jeder teiler von z ein produkt der in z entahltenen primfaktoren, findest du dort x als produkt von primfaktoren von z wieder?

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