Rekursive Folge auf Konvergenz untersuchen.

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Bersilol Auf diesen Beitrag antworten »
Rekursive Folge auf Konvergenz untersuchen.
Folgende Aufgabe ist gegeben:

Untersuchen Sie, ob die durch

a_1 = 1 , a_n+1 = (a_n) / sqrt(a_n² + 1/n) , n € N

rekursiv definiert Folge (a_n) n€N konvergiert, und bestimmen Sie gegebenfalls ihren Grenzwert.

Hänge nun schon seit einigen Stunden an dieser Aufgabe und schreibe ein Zettel nachm anderen voll ohne einen Schritt weiter zu kommen :/

Die Vermutung liegt nahe, dass die Funktion monoton steigend ist und gegen 1 konvergiert, jedenfalls wenn ich a_n (n=2,3,4) ausrechne.

Für monoton steigend gilt ja zu beweisen, dass a_n+1 >= a_n ist. Jedoch hab ich hiermit schon meine Probleme, denn egal was ich anstelle die Ungleichung erfüllt sich bei mir nicht und es ergibt für mich keinen Sinn, dass es eine monoton fallende folge ist.

Mir fehlt einfach der richtige Denktanstoß : / Bitte um Hilfe, sonst sitz ich bis zur nächsten Vorlesung noch an der Aufgabe Augenzwinkern

mfg Bersi
Bersilol Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rekursive Folge auf Konvergenz untersuchen.
a_n+1 >= a_n

wäre ja

(a_n) / sqrt((a_n)² + 1/n) >= a_n

Das sollte ja auch soweit richtig sein.
Das größte Problem ist für mich die Wurzel die ich einfach nicht wegbekomme :/

nunja ich hab dann irgendwann

[(a_n) - (a_n) * sqrt((a_n)²+ 1/n) ] / sqrt((a_n)²+ 1/n) =< 0 || *sqrt((a_n)²+ 1/n)
(a_n) - (a_n) * sqrt((a_n)²+ 1/n) =< 0


Soweit hoffe ich keine Flüchtigkeitsfehler gemacht zu haben, aber wie mach ich nun weiter?


mfg Bersi
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rekursive Folge auf Konvergenz untersuchen.
Zeige für n >= 2 mittels vollständiger Induktion.
Bersilol Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rekursive Folge auf Konvergenz untersuchen.
Werd mich nach der Vorlesung mal hinsetzen und das versuchen, jedoch war das ja irgendwie mein Problem. Da ich es nicht hinbekomme die Ungleichung zu beweisen.

Man müsste dann ja mit dem Induktionsanfang beweisen dass es für das erste n welches mal wählt gilt.
Das wäre dann ja 2.

also 2 / sqrt(2² + 1/2) >= 2 ?
Das ist ja dann ein Widerspruch :/
Oder kann ich für a_n nicht 2 schreiben ?

mfg Bersi
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rekursive Folge auf Konvergenz untersuchen.
Du mußt zeigen und dazu müßtest du erstmal a_2 und a_3 bestimmen.
Bersilol Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rekursive Folge auf Konvergenz untersuchen.
IA: A(2) : a_2+1 >= a_2
wahr da 0,9820 >= 0,9428

IV: A(n) : a_n+1 >= a_n

Behauptung: A(n+1): a_(n+1)+1 >= a_(n+1) Soweit richtig ?

Beweis: a_n+1 + a_1 >= a_n + a_1
Durch die IV kann man ja sagen, dass a_n+1 >= a_n ist und die Teile a_1 sind gleich groß und heben sich somit auf. Das wäre ja nur der Beweis das die Folge monoton steigend ist ?!

Beschränktheit wäre dann ja a_n+1 =< S für alle n aus N (wobei S eine obere Schranke wäre).

Also:
a_n+1 = (a_n) / sqrt(a_n² + 1/n) =< S Wie gehe ich hier weiter vor? Vor allem macht mir die Wurzel zu schaffen :/

Aber ich frag mich warum man die Monotonie mit dem Beweisverfahren der vollständigen Induktion herleiten soll, wenn man auch a_n+1 - a_n >= 0 oder a_n+1 / a_n >= 1 beweisen könnte?

mfg Bersi
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rekursive Folge auf Konvergenz untersuchen.
Zitat:
Original von Bersilol
IA: A(2) : a_2+1 >= a_2
wahr da 0,9820 >= 0,9428

Also ich habe da andere Werte raus. Beispielsweise ist bei mir

Zitat:
Original von Bersilol
Behauptung: A(n+1): a_(n+1)+1 >= a_(n+1) Soweit richtig ?

Im Prinzip ja, wenn du bzw. geschrieben hättest. Woraus sich nämlich das nächste Problem ergibt:

Zitat:
Original von Bersilol
Beweis: a_n+1 + a_1 >= a_n + a_1

Was ist das? verwirrt Es ist nicht
Bersilol Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rekursive Folge auf Konvergenz untersuchen.
wie genau kommst du auf a_2= 1/sqrt(2) ich glaub ich hab dort noch eine erhebliche Lücke ... Ich setzte einfach für a_n = 2 ein aber ich merk nun selbst das das alles falsch ist nur, weis ich es im Moment gerade nicht besser.

wenn a_n+1 = (a_n) / sqrt(a_n² + 1/n) ist.

und man setzt n=1 also a_1+1 => a_2 dann muss da ja 1/sqrt(1² + 1/1) rauskommen richtig ?
und für n=2 also a_2+1 => a_3 also 2/sqrt (2² + 1/2) ? Oder mache ich hier doch noch extrem viel falsch ?

mfg Bersi
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rekursive Folge auf Konvergenz untersuchen.
Zitat:
Original von Bersilol
und man setzt n=1 also a_1+1 => a_2 dann muss da ja 1/sqrt(1² + 1/1 rauskommen richtig ?

Ja.

Zitat:
Original von Bersilol
und für n=2 also a_2+1 => a_3 also 2/sqrt (2² + 1/2) ? Oder mache ich hier doch noch extrem viel falsch ?

Das ist in der Tat falsch, da du für a_2 die 2 genommen hast, aber nicht das Ergebnis vom vorigen Schritt.
Bersilol Auf diesen Beitrag antworten »

ah ok also muss ich für a_2+1 folgendes einsetzen:

0,707 (entspricht ja 1/sqrt(2) bzw. a_1+1 bzw. a_2)

a_2+1 = (1/sqrt(2)) / sqrt((1/sqrt2)² + 1/2)

bzw.

a_2+1 = 0,707 / sqrt (0,707² + 1/2)

= 0,707 / sqrt (~0,5 + 0,5)

= 0,707 / sqrt (1)

= 0,707 / 1 = 0,707

Von mir wars das erstmal bis ca. 22 Uhr, dann werd ich mich wieder melden und ich hoffe ich komm nun auf das Ergebniss. Danke für die ausführliche Hilfe

mfg Bersi
Bersilol Auf diesen Beitrag antworten »

So.... Beweis für Monotonie

Zur Induktion
A(2) : a_3 =< a_4
= 1/sqrt(2) =< 0,774 (wahr)

IV: A(n) : a_n =< a_n+1

Behauptung: A(n+1): a_n+1 =< a_n+1+1

Beweis:
Kann ich nun folgendes schreiben.

a_n+1 = a_n + a_1 ?

Wenn ja:

a_n + a_1 =< a_n+1 + a_1

Aufgrund der IV, dass a_n =< a_n+1 gilt: kann man ja schreiben a + b =< c + b
und wenn bereits a =< c gilt und beide Seiten mit b addiert werden gilt auch a + b =< c + b.

Ind. Schluss: A(2) wahr und A(n) => A(n+1) wahr für alle n>=2

Somit ist (a_n) monoton steigend. Jetzt fehlt nur noch der Beweis der Beschränktheit und noch den Grenzwert berechnen.

Beweis für die Beschränktheit

Könnte ich theoretisch die Beschränktheit mit lim n=>unendlich für a_n+1 beweisen ? das würde ja gegen 1 streben und somit hätte ich auch schon gleich den Grenzwert berechnet also a.

A(2) : a_1 = 1 =< 1 (oder ich fang hier auch bei n>=2 an) dann wäre das a_2 = 1/sqrt(2) =< 1

IV A(n) : a_n =< 1

Behauptung A(n+1) : a_n+1 =< 1

Umformen nach a_n+1 - 1 =< 0

iwann hab ich dann a_n - sqrt(a_n² + 1/n) =< 0
sqrt(a_n²+1/n) ist ja mindestens so groß wie a_n und somit gilt die Ungleichung.

Also ist die Folge monoton steigend und beschränkt => Beweis für Konvergenz.

Berechnung des Grenzwertes a :

Der Grenzwert ist ja dann noch mit lim n->unendlich für a = a_n / sqrt(a_n²+1/n)

für lim n-> unendlich konvergiert 1/n gegen 0 also steht dort a_n / sqrt(a_n²+0) somit a_n / sqrt(a_n²)
=> a_n / a_n => 1 / 1 => 1 Augenzwinkern

Also Zusammengefasst ist die Folge monoton steigend beschränkt => Konvergiert gegen 1

Vllt könnte sich jmd das nochmnal fix durchguggn und mir ein OK geben, dass das alles soweit richtig ist. Oder mir die Fehler aufzeigen.

Edit: mir ist noch aufgefallen, dass ich n>=2 gesetzt habe muss ich noch iwas für n=1 beweisen ?

mfg Bersi
Sasileinchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich bin zufällig an der gleichen Aufgabe... bin aber der Meinung, dass sie weder monoton steigt, noch fällt, da ich folgende Werte für a raushab:
a1=1
a2=0,707...
a3=0,707...
a4=0,7745...
a5=0,559...
a6=0,303...


...und beim Induktionsbeweis will ich beweisen, dass a(n)>=sqrt(1-1/n)... aber es stimmt vorne und hinten nicht, weil sich der beweis nicht erfüllt. Kann er ja auch eig nicht, weil sie ja gar nicht monoton ist... Wie geht diese Aufgabe??? Hilfe unglücklich
Bersilol Auf diesen Beitrag antworten »

also bei mir steigt sie und a_5 ist bei mir 0,8401 somit ist a_6

0,8401 / sqrt (0,8401² + 1/5 (Da a_6 = a_n+1 also a_5+1)

Ob das richtig ist sei aber mal dahingestellt :/
Ich warte auch noch auf ein OK.

mfg Bersi
Sasileinchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ups...hast Recht! Hab mich verrechnet... -.-

Also muss man dann aber sagen (so wie du oben schon), dass sie erst ab a2 steigt. Also müsste das dann n>=1 sein, oder?
Bersilol Auf diesen Beitrag antworten »

Hm... jo stimmt müsste dann n>=1 sein, aber ich werd jetzt erstmal noch andere Aufgaben rechnen und darauf hoffen, dass mir jmd noch schreiben kann ob das alles soweit richtig ist oder ob ich noch Fehler gemacht habe. Will mich nicht wieder die ganze Nacht damit aufhalten^^


mfg Bersi
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bersilol
Kann ich nun folgendes schreiben.

a_n+1 = a_n + a_1 ?

Dazu hat klarsoweit oben schon deutlich geantwortet:

Zitat:
Original von klarsoweit
Es ist nicht

Und genauso wenig gilt . unglücklich

Damit fällt dein Monotoniebeweis in sich zusammen. Dein Beschränktheitsbeweis ist aber soweit in Ordnung.

--------------------------------------

Ein paar alternative Überlegungen zur Folge: Eine geeignete Substitution führt oftmals zu einer einfacher strukturierten Rekursion. Die nachgewiesene Konvergenz der substituierten Folge kann dann i.d.R. auf die Originalfolge rückübertragen werden. Und jetzt ganz konkret:

Umformungen der Iterationsgleichung ergeben





Die Substitution ergibt dann und .

Durch Induktion kann man für alle beweisen, womit und damit dann auch folgt.
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