Grenzwertproblem - Reloaded (Part III)

25.11.2010, 11:20

Ibn Batuta

Grenzwertproblem - Reloaded (Part III)

Hi Leute,

mal wieder geht es um Grenzwerte und Konvergenz. Ich glaube mein Mathestudium wird noch wegen dieses Themas scheitern. verwirrt

Ich habe folgende Reihe gegeben:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty (\frac{n^2}{2n^2+n+1})^n \end{eqnarray*}$

Folgendes habe ich gemacht.

Diese Folge $\begin{eqnarray*} \frac{n^2}{2n^2+n+1} \end{eqnarray*}$ betrachtet. Die konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Dann habe ich als Ausdruck noch dastehen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty (\frac{1}{2^n}) \end{eqnarray*}$

Kann ich nun hierfür das Quotientenkriterium anwenden und damit die Konvergenz zeigen?

$\begin{eqnarray*} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| = \frac{\frac{1}{2^{n+1}}}{\frac{1}{2^{n}}} = \frac{1}{2} < 1 \end{eqnarray*}$ . Also konvergent.

Ist das so korrekt oder völliger Humbug?

Danke.

Ibn Batuta

25.11.2010, 11:31

klarsoweit

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RE: Grenzwertproblem - Reloaded (Part III)
Prinzipiell die richtige Idee, aber formal verbesserungswürdig.

Im Grunde steht dahiner die Abschätzung $\begin{eqnarray*} \frac{n^2}{2n^2+n+1} \leq \frac{n^2}{2n^2} = \frac 1 2 \end{eqnarray*}$

Das führt dann zu der von dir genannten konvergenten Majorante, die eine geometrische Reihe ist, wo klar ist, nach welchen Regeln die konvergiert.

Alternativ geht auch das Wurzelkriterium.

25.11.2010, 11:32

René Gruber

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@Ibn Batuta

Diese Argumentation steht auf wackligen Füßen - warum sich diesen Ärger einhandeln? Standfester wäre es, basierend auf

$\begin{eqnarray*} \frac{n^2}{2n^2+n+1} < \frac{n^2}{2n^2} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

einfach $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{2} \right)^n \end{eqnarray*}$ als Majorantenreihe zu betrachten.

EDIT: Da hatten wohl zwei dieselbe Idee. Augenzwinkern

25.11.2010, 11:33

lgrizu

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RE: Grenzwertproblem - Reloaded (Part III)
warum wendest du nicht gleich das quotientenkriterium oder wurzelkriterium an?

...also auf die folge $\begin{eqnarray*} a_n:=(\frac{n^2}{2n^2+n+1})^n \end{eqnarray*}$ ...

wenn eine folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ konvergiert heißt das nicht, dass die reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits a_n \end{eqnarray*}$ auch konvergiert.

betrachte zum beispiel die folge $\begin{eqnarray*} a_n:=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ , diese ist konvergent, aber die harmonische reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ist wie wir wissen divergent.

würden wir hier den grenzwert der folge einsetzen, so würden wir auch ein konveregenzverhalten feststellen, das aber de facto nicht existiert....

edit: etwas spät....

25.11.2010, 11:37

Ibn Batuta

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Ihr seid spitze. Danke euch beiden für eure Verbesserungsvorschläge. Freude

Ich befürchte heute werden noch weitere Grenzwertproblem - Reloaded (Part xy)-Threads von mir auftauchen.

Das Thema Konvergenz und Grenzwerte macht mich noch fertig. unglücklich

Ibn Batuta

25.11.2010, 11:56

Ibn Batuta

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Ich hoffe ihr seid mir jetzt nicht böse, wenn ich keinen neuen Thread dafür öffne, aber es passt, denke ich, besser in diesen Thread rein.

Ich habe nun folgende Reihe gegeben:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n} \end{eqnarray*}$

Abschätzung von:
$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{n^n}=\frac 1n\left( \frac 2n \cdot \frac 3n \cdots \frac nn\right)<\frac 1n \end{eqnarray*}$

Nun habe ich eine Majorantenreihe, die ich betrachte:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n} \end{eqnarray*}$ < $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Das ist ja die harmonische Reihe, die bekanntlich divergiert. Also ist meine Folge divergent.

Kann ich das so begründen?

Danke euch nochmals. smile

Ibn Batuta

25.11.2010, 12:00

René Gruber

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Konvergente Majoranten oder divergente Minoranten helfen bei Konvergenzbetrachtungen positiver Reihen.

Konvergente Minoranten oder divergente Majoranten haben jedoch keinerlei Aussagekraft hinsichtlich Konvergenz/Divergenz. Dieses dein Beispiel zeigt dies in deutlicher Weise, denn mit konsequenter Fortführung deiner Abschätzung kommst du nämlich zu einer konvergenten Majorante! Augenzwinkern

25.11.2010, 12:02

lgrizu

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hier kann man wirklich ziemlich einfach das quotientenkriterioum stumpf anwenden und stößt auf konvergenz Augenzwinkern

25.11.2010, 12:03

Ibn Batuta

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Okay... Jetzt habe ich aber eine noch blödere Frage, als meine lapidaren Konvergenzprobleme. Woher seht ihr das so schnell? smile

Ich ärgere mich an diesen Reihen schon seit einer Woche rum. unglücklich

Ibn Batuta

25.11.2010, 12:05

lgrizu

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ich denke, üben....

einige reihen sind einem auch noch aus der anfangszeit bekannt und haben einen gewissen wiedererkennungswert, dann ist es genau so wie lesen, die meisten wörter werden nicht gelesen sondern wiedererkannt... Augenzwinkern

25.11.2010, 12:17

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von lgrizu
ich denke, üben....

einige reihen sind einem auch noch aus der anfangszeit bekannt und haben einen gewissen wiedererkennungswert, dann ist es genau so wie lesen, die meisten wörter werden nicht gelesen sondern wiedererkannt... Augenzwinkern

Ich glaube man sollte mich in Analysis exen, wegen großer Talentlosigkeit. Big Laugh

Ich erkenne an den Folgen und Reihen grundsätzlich immer nichts, obwohl ich - wie auch bei LinAlg - viel übe.

Ich habe nun das Quotientenkriterium angewendet:

$\begin{eqnarray*} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| = \frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{n!}{n^n}} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} = \frac{(n+1)}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{1} = \frac{n^n\cdot (n+1)}{(n+1)^{n+1}} =\frac{n^n}{(n+1)^{n}} = (\frac{n}{n+1})^n < 1 \end{eqnarray*}$

Also konvergiert diese Reihe....

Ibn Batuta

25.11.2010, 12:18

lgrizu

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na siehst du, klappt doch....

25.11.2010, 13:04

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von lgrizu
na siehst du, klappt doch....

Letzte Frage in diesem Thread, danach mache ich einen neuen auf.

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty \frac{2^{n+1}}{3\cdot 5^n} \end{eqnarray*}$

Habe mit dem Quotientenkriterium gezeigt, daß:

$\begin{eqnarray*} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| = \frac{2}{5} < 1 \end{eqnarray*}$ und somit absolut konvergent.

Wie zeige ich allerdings den Wert dieser Reihe? verwirrt

Ibn Batuta

25.11.2010, 13:08

klarsoweit

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Stichwort: geometrische Reihe. Von daher war auch die Anwendung des Quotientenkriteriums unnötig.

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