Basis B eines Vektorraums, zeige, auch B' ist Basis

25.11.2010, 11:34	HaraldFischer	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis B eines Vektorraums, zeige, auch B' ist Basis Meine Frage: Hallo, habe diese Woche folgende Aufgabe bekommen: Zeige: Ist b1, ... bn eine Basis des Vektorraumes V , so ist auch b1 b2 + b1 b3 + b2 + b1 bn + bn-1 + ... b1 Basis des Vektorraumes V. Meine Ideen: Zunächst einmal eine Frage. Basis b1, .... bn ist ja klar, n unabhängige Vektoren, welche die Basis bilden. Doch was ist weiter unten mit b1 + b2 usw. gemeint??? Warum werden hier die Vektoren addiert??? Macht b1+b2 einen Unterschied zu b1,b2? Unabhängig davon dachte ich mir, dass n=n gilt, also besteht grundsätzlich schon einmal die Möglichkeit, dass es sich ebenfalls um eine Basis handelt. Reicht es aus, wenn ich daneben zeige, dass die andere Basis erzeugend und linear unabhängig ist???
25.11.2010, 11:41	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis B eines Vektorraums, zeige, auch B' ist Basis n=n ist etwas "sinnfrei". Man kann recht einfach zeigen, dass die neue Basis wegen b1,..bn Basis auch u. ist. Man bekommt ja immer den gleichen Widerspruch hin. Das addieren ist doch wichtig. du braucht einen neuen Vektor. Und der ist eine sehr schön gebaute Linearkombination (Ohne Nullen) von Basisvektoren (mit langsam steigender Anzahl). Ich würde mich also erstmal fragen ob b1, und (b1+b2) linear unabhängig sind.
25.11.2010, 12:28	HarlafFischer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis B eines Vektorraums, zeige, auch B' ist Basis Oh, stimmt... du hast recht. Danke für die schnelle Antwort
25.11.2010, 13:24	HarlafFischer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis B eines Vektorraums, zeige, auch B' ist Basis Noch eine Frage dazu. b1 ist l.u.a. wenn es genau ein » gibt, so, dass »b1 = 0 oder? da ja nicht direkt Vektoren angegeben sind, reicht es dann aus, wenn ich schreibe es ex. genau ein » für das die Gleichung 0 ergibt??? und bei b2+b1 ... falls das oben geschriebene richtig ist, kann ich hier genauso weitermachen oder sollte man schreiben: angenommen es ex. ein i mit bi = »2b2+..»i-1bi-1+»i+1bi+1.....+»1b1, so, dass »2b2+..»i-1bi-1+(-1)bi+»i+1bi+1.....+»1b1 = 0 ... nicht alle Koeffizienten sind 0, da -1 ist nicht 0 und das ist ein Widerspruch zur l.u.a.??? Hab das eben in einem Buch gefunden und kann es nicht zu 100% nachvollziehen, doch ist das zumindest einmal der richtige Weg oder gibt es andere Möglichkeiten?
25.11.2010, 13:27	HarlafFischer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis B eines Vektorraums, zeige, auch B' ist Basis » soll übrigens für lambda stehen... hat mit dem kopieren nich so geklappt
25.11.2010, 15:01	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis B eines Vektorraums, zeige, auch B' ist Basis Also. Ein einzelner Vektor (ungleich dem Nullvektor) ist immer l.u. Nun nehmen wir doch mal $\begin{eqnarray} \lambda_1 b_1 + \lambda_2(b_1 + b_2) = (\lambda_1 + \lambda_2)b_1 + \lambda_2 b_2 \stackrel{!}= 0 \end{eqnarray}$ Weil wir wissen, dass b1 und b2 lu sind, folgt dann doch $\begin{eqnarray} \lambda_2=0 \end{eqnarray}$ und damit - nach kleiner Rechnung - auch $\begin{eqnarray} \lambda_1=0 \end{eqnarray}$ . Somit sind auch $\begin{eqnarray} \lambda_1 b_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda_2(b_1 + b_2) \end{eqnarray}$ linear unabhängig. Das kann man nun für die nächsten 3 Vektoren verwenden usw. Alternativ kannst du dir mal überlegen, wie die zugehöre Abbildungsmatrix B -> b' bzgl B aussieht und wir man leicht ihren Rang berechnet und was das dann bedeutet.
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