Affine Abbildung / Dilatation

25.11.2010, 12:52	Evelyn89	Auf diesen Beitrag antworten »
Affine Abbildung / Dilatation Hallo! Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} \phi:V \to V \end{eqnarray}$ eine Affinität, also eine bijektive, affine Abbildung. Dabei V ein Vektorraum. Zeige: $\begin{eqnarray} ~\phi~ \end{eqnarray}$ ist genau dann eine Dilatation, wenn jede Gerade $\begin{eqnarray} g \subset V \end{eqnarray}$ zu ihrer Bildgeraden $\begin{eqnarray} ~\phi(g)~ \end{eqnarray}$ parallel ist. Bemerkung: Die Dilatation ist wie folgt definiert: Eine Affinität $\begin{eqnarray} ~\phi~ \end{eqnarray}$ heißt Dilatation, falls gilt: $\begin{eqnarray} ~\exists \lambda \in \mathbb K : \phi(x)=u+\lambda x \end{eqnarray}$ . Dabei ist $\begin{eqnarray} u\in V \end{eqnarray}$ fest. Mein Ansatz: Zu der 1. Richtung " $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ ": Sei also $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ eine Dilatation, d.h. $\begin{eqnarray} ~\phi(x)=u+\lambda x~ \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} ~\lambda \in \mathbb K~ \end{eqnarray}$ . Wenn ich zeigen will, dass $\begin{eqnarray} g \parallel \phi(g)~ \end{eqnarray}$ gilt, genügt es zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} g=\alpha \cdot \phi(g) \text{ für ein } \alpha \in \mathbb K \end{eqnarray}$ . Das die beiden also Vielfache voneinander sind. Mein Problem ist, dass ich nicht weiß wie ich mein g darstellen soll, damit ich weiterkomme.... ?? Bin für jede Hilfe dankbar.
25.11.2010, 19:33	Evelyn89	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat niemand einen Tipp?
25.11.2010, 19:40	Evelyn89	Auf diesen Beitrag antworten »
Darf ich davon ausgehen die Gerade g wie folgt darzustellen? Ich versuchs mal: Also nach Voraussetzung ist dann ja $\begin{eqnarray} \phi(g)=u + \lambda\cdot g=u+\lambda(a+\mathbb K \cdot v)\parallel g \end{eqnarray}$ Wäre das so haltbar?

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