Konvergenzproblem - Reloaded (Part V)

25.11.2010, 15:52

Ibn Batuta

Konvergenzproblem - Reloaded (Part V)

Hi,

letzten Fragen für heute. Augenzwinkern

Wenn $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ eine konvergente Reihe ist und $\begin{eqnarray*} (b_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ eine konvergente Folge, ist dann die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty [(a_n)_{n\in\mathbb{N}}\cdot (b_n)_{n\in\mathbb{N}}] \end{eqnarray*}$ ebenfalls konvergent?

Ich würde sagen ja, weil:

$\begin{eqnarray*} (b_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen einen Grenzwert, den ich $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ nenne. Dann gilt doch: $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty [(a_n)_{n\in\mathbb{N}}\cdot c] \end{eqnarray*}$ . Hier kann ich das $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ aus der Summe rausziehen und ich erhalte: $\begin{eqnarray*} c\cdot\sum_{n=1}^\infty (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$
Das wäre ja wiederum konvergent! Aber stimmt meine Begründung denn so?

Und wenn die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ absolut konvergieren würde, wäre es doch dieselbe Begründung wie oben oder?

Ibn Batuta

25.11.2010, 16:50

René Gruber

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Zitat:

Original von Ibn Batuta
Wenn $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ eine konvergente Reihe ist und $\begin{eqnarray*} (b_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ eine konvergente Folge, ist dann die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty [(a_n)_{n\in\mathbb{N}}\cdot (b_n)_{n\in\mathbb{N}}] \end{eqnarray*}$ ebenfalls konvergent?

Was ist das für eine seltsame Schreibweise? Du meinst doch
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty [a_n\cdot b_n] \end{eqnarray*}$ , oder? verwirrt

Ach ja: Als Gegenbeispiel bei "nur konvergenter" Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_n a_n \end{eqnarray*}$ betrachte

$\begin{eqnarray*} a_n = b_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ .

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