Darstellungsmatrix der Norm bestimmen

25.11.2010, 15:55	Theo*	Auf diesen Beitrag antworten »
Darstellungsmatrix der Norm bestimmen Hallo, sei K\|L endliche, separable Erweiterung von Körpern. Zu $\begin{eqnarray} x \in L \end{eqnarray}$ sei die Abbildung $\begin{eqnarray} l_x \end{eqnarray}$ wie folgt gegeben: $\begin{eqnarray} l_x : L \to L, \quad y \mapsto x\cdot y \end{eqnarray}$ Die Norm des Elements $\begin{eqnarray} x \in L \end{eqnarray}$ ist definiert als $\begin{eqnarray} N_{L\|K}(x) := \det(l_x) \end{eqnarray}$ Sei nun $\begin{eqnarray} K=\mathbb Q(\sqrt 3) \end{eqnarray}$ und wir betrachten die Erweiterung $\begin{eqnarray} K\|\mathbb Q \end{eqnarray}$ und sei $\begin{eqnarray} x=a+b \sqrt 3 \end{eqnarray}$ ein Element aus $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ . *Was ist nun die Norm von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ?* D.h . : Wie kann ich die Abbildung $\begin{eqnarray} l_x \end{eqnarray}$ als Matrix bezüglich der Basis $\begin{eqnarray} \{1, \sqrt 3\} \end{eqnarray}$ darstellen, so dass ich dann die Determinante von $\begin{eqnarray} l_x \end{eqnarray}$ ausrechnen kann? Gruß, Theo
25.11.2010, 20:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Multipliziere $\begin{eqnarray} x=a+b\sqrt 3,y=c+d\sqrt 3 \end{eqnarray}$ , das gibt $\begin{eqnarray} xy=A+B\sqrt 3 \end{eqnarray}$ . Setze $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Daran erkennst du ganz leicht, wie du $\begin{eqnarray} \alpha,\beta,\gamma,\delta \end{eqnarray}$ wählen musst, die Norm von x ist die Determinante dieser Matrix. (Die Spur von x ist die Spur dieser Matrix.)
25.11.2010, 21:46	Theo*	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich hab's nun kapiert. Danke für die Antwort.
26.11.2010, 19:17	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das freut mich ... wie ist die Norm von x ?

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