[Karpfinger/Meyberg] Halbgruppen 1.1 (*)

25.11.2010, 16:23	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
*[Karpfinger/Meyberg] Halbgruppen 1.1 ()** Die folgenden Beispiele soll man auf Assoziativität, Kommutativität und Existenz von neutralen Elementen untersuchen. Es gilt $\begin{eqnarray} \mathbb N \times \mathbb N \to \mathbb N \end{eqnarray}$ (a) $\begin{eqnarray} (m,n) \to m^n \end{eqnarray}$ assoziativ: nein, denn z.B. $\begin{eqnarray} 2^{(3^2)} = 512 \neq 64 = (2^3)^2 \end{eqnarray}$ kommutativ: nein, denn z.B. $\begin{eqnarray} 2^3= 8\neq 9=3^2 \end{eqnarray}$ neutrales Element: rechtsneutral: $\begin{eqnarray} e_r = 1 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} (m,1)=m^1=m \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} m \in \mathbb N \end{eqnarray}$ . linksnreutral: Es müsste gelten $\begin{eqnarray} (e_l,m)=e_l^m=m \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} m \in \mathbb N \end{eqnarray}$ . Insbesondere gilt mit dem vorherigen: $\begin{eqnarray} (e_l,e_r)=e_l^1=e_l \end{eqnarray}$ und die geforderte Gleichheit würde $\begin{eqnarray} e_l=e_r=1 \end{eqnarray}$ erzwingen. Dann ist aber $\begin{eqnarray} (1,m) = 1^m=1 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} m \in \mathbb N \end{eqnarray}$ . Somit gibt es kein Linksneutrales Element. Bitte um Korrektur.
26.11.2010, 09:55	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt
26.11.2010, 10:09	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke.

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