[Karpfinger/Meyberg] Halbgruppen 1.4 (*)

25.11.2010, 18:02

tigerbine

[Karpfinger/Meyberg] Halbgruppen 1.4 (*)

Es geht um Mengen mit drei Elementen. Nennen wir sie a,b,c. Wie viele verschiedene innere Verknüpfungen gibt es auf dieser Menge?

Meine Ideen:
Die innere Verknüpfung fordert doch nur, dass für 2 Elemente aus der Menge gilt $\begin{eqnarray*} (a\circ b) \in M \end{eqnarray*}$ , oder?

Also frage ich mich zuerst, wie viele Paare ich bilden kann. Da i.A. nicht kommutativ: 3*3. Jedem dieser 9 Paare kann man nun eines der 3 Elemente aus M zuordnen. Würde ich insgesamt auf 3³=27 verschiedene Verknüpfungen kommen.

26.11.2010, 10:59

kiste

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Verknüpfungen sind Abbildungen $\begin{eqnarray*} M\times M \to M \end{eqnarray*}$ . Es gilt: $\begin{eqnarray*} |\mathrm{Abb}(A,B)| = |B^A| = |B|^{|A|} \end{eqnarray*}$ .

Deine Argumentation geht ähnlich, bloß nicht so allgemein. Warum du dann aber auf 3^3 kommst verstehe ich nicht.

26.11.2010, 11:19

tigerbine

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Was ist denn bei dir A und was B?

26.11.2010, 13:58

kiste

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$\begin{eqnarray*} A = M\times M \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} B=M \end{eqnarray*}$

26.11.2010, 14:08

tigerbine

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Also, dann ist |B| = 3. Wie berechne ich denn |A|. Das habe ich ja wohl falsch gemacht.

26.11.2010, 14:19

kiste

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Nein das hat du richtig mit 9 berechnet. Dann hast du aber aus mir nicht erfindlichen Gründen $\begin{eqnarray*} 3^3 \end{eqnarray*}$ gerechnet und nicht $\begin{eqnarray*} 3^9 \end{eqnarray*}$

26.11.2010, 14:25

tigerbine

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RE: [Karpfinger/Meyberg] Halbgruppen 1.4
So, wo hat mich denn der Fehler Teufel

geritten.

Zitat:

Original von tigerbine

Also frage ich mich zuerst, wie viele Paare ich bilden kann. Da i.A. nicht kommutativ: 3*3. Jedem dieser 9 Paare kann man nun eines der 3 Elemente aus M zuordnen.

Auf der Urbildseite haben wir |A|=9 und auf der Bildseite |B|=3. Das würde (kombinatorisch.. schweife ich ab Big Laugh