Konvergenzkriterien anwenden

25.11.2010, 18:22

-_-

Konvergenzkriterien anwenden

Meine Frage:
Folgendes soll auf Konvergenz überprüft werden:
$\begin{eqnarray*} m \in \mathbb N, x \in \mathbb R, x \geq 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{m^{n}(n!)}{n^{n}}, \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2+(-1)^{n}}{2^{n-1}}, \sum\limits_{n=0}^\infty \binom{x}{k} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
zu den Kriterien:
a) am unschlüssigsten, habe aber überlegt das mit dem Quotientenkriterium zu machen
b) Leibniz Kriterium, da alternierende Reihe
c) Quotientenkriterium

segnet die Fachwelt dies so ab?

25.11.2010, 19:05

klarsoweit

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RE: Konvergenzkriterien anwenden
zu a: würde ich auch machen.
zu b: die Reihe alterniert nicht. Erst wenn du diese in 2 Reihen aufspaltest.
zu c: Im Summanden kommt kein n vor.

25.11.2010, 19:49

-_-

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zu 2: achja Mist stimmt... habe ich gar nicht so schnell dran gedacht... dann ist das auch schon mal hinfällig
zu 3: uups da steht auch nicht x über k sondern x über n Augenzwinkern

25.11.2010, 23:40

-_-

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So zu a) da habe ich raus, dass die Folge nicht konvergiert.
und bei c) habe ich raus, dass sie konvergiert für alle x < 2n+1.

26.11.2010, 09:01

klarsoweit

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Zitat:

Original von -_-
So zu a) da habe ich raus, dass die Folge nicht konvergiert.

Halb richtig und halb falsch. Konvergenz bzw. Divergenz hängen vom Wert von m ab.

Zitat:

Original von -_-
und bei c) habe ich raus, dass sie konvergiert für alle x < 2n+1.

Das erscheint merkwürdig, denn n ist die Laufvariable der Summe. Ohnehin muß man sich die Definition des Binomialkoeffizienten ansehen, wenn x aus R ist.

26.11.2010, 11:31

-_-

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Also ich habe da stehen $\begin{eqnarray*} | \frac{n^{n}*m}{n+1} | < 1 \end{eqnarray*}$ wenn ich mich nicht verrechnet habe. Und das ist doch genau dann kleiner eins, wenn $\begin{eqnarray*} {n^{n}*m} < {n+1} \end{eqnarray*}$ aber das ist für alle m\{0} nicht der Fall.
Oder habe ich Rechen-/Logikfehler drin?
Der Binomialkoeffizient für reelle x ist der mit dem Produktzeichen richtig?

26.11.2010, 12:13

klarsoweit

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Zitat:

Original von -_-
Oder habe ich Rechen-/Logikfehler drin?

In der Tat.

Zitat:

Original von -_-
Der Binomialkoeffizient für reelle x ist der mit dem Produktzeichen richtig?

Ja.

26.11.2010, 12:49

faulix

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Zu b würde ich auf Anhieb sagen geometrische Reihe nach etwas Umformung.

29.11.2010, 00:23

-_-

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zu a)
da habe ich mit dem Quotientenkriterium die Form $\begin{eqnarray*} m \frac{1}{(1+\frac{1}{n})^{n} } \end{eqnarray*}$ und dann $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (m \frac{1}{(1+\frac{1}{n})^{n} } ) = \frac{m}{e} \end{eqnarray*}$ also Konvergent für m=1 und m=2.

zu b)
die Majorante $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{3}{2^{n-1}} \end{eqnarray*}$ konstruiert und mit dem Quotienkriterium und der Majorante weitergerechnet.

zu c)
immer noch nicht viel bei herumgekommen...

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