Affinität - Matrixproblem

16.11.2006, 19:11

LaBuse

Affinität - Matrixproblem

ahoi,

Montag ist mal wieder Mathe LK Klausur und ich werd sie wohl mal wieder verhältnismäßig in den Sand setzen (falsche LK Wahl -.- )

naja, zum problem:

Folgende Aufgabe:

Zitat:

Bei einer affinen Abbildung wird jeder Punkt der x1-achse auf sich selbst abgebildet und P (1/4) auf P´ (4/1).
Bestimmen sie eine Matrixdarstellung für diese Abbildung.

Bislang war ich es bei der Matrixdarstellung immer gewöhnt, dass ich 4 Punkte gegeben habe, sowie deren Abbildungen und daraus dann die Matrix konstruiere ?!

wie gehe ich hier das Problem an? eine Abbildung hab ich ja (P´). und weiter ?
Die Punkte der x1 achse werden auch sich selbst abbgebildet. somit hätte ich einen zweiten Punkt, wenn ich einen belieben wähle (z.b (1/0) )

und dann ? verwirrt

16.11.2006, 22:21

mYthos

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Hi!

4 Punkte sind es zwar nicht, jedoch zumindest zwei Punkte (mit den jeweiilgen Bildpunkten) braucht man schon, um die Abbildung eindeutig festzulegen. Dies geht auch schon aus der rein geometrischen Anschauung hervor.

Die affine Abbildung lautet allgemein:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x'_1 \\ x'_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} e \\ f \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da alle Punkte auf der x1 - Achse Fixpunkte sind, ist es insbesondere der Punkt (0;0) auch. Daraus folgt e = 0, f = 0.

In nunmehr

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

liegen bereits 2 Gleichungen für die Elemente a, b, c, d der Abbildungsmatrix vor. Wir sehen, dass für weitere zwei Geleichungen noch ein weiterer Punkt samt Bildpunkt erforderlich ist.

mY+

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