Schwierige Integrale

25.11.2010, 18:54

hug0r

Schwierige Integrale

http://www.abload.de/image.php?img=integralsob2.png

Hi! Diese beiden Integrale bzw. deren Limiten hab ich zu bestimmen.
Leider ist meine Integrationstechnikkiste recht beschränkt, sodass ich bisher kläglich gescheitert bin, auch nur eine einzige der beiden Aufgaben zu lösen. Irgendwie komm ich mit meinen "Standardansätzen" Substitution etc. nicht ein Stück weiter. Vllt muss mans auch über Potenzreihen machen. Bin dankbar für jede Hilfe smile

25.11.2010, 23:48

gonnabphd

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Hi,

Um welche Art von Integral geht es denn? Riemann?

Gruss. Wink

26.11.2010, 06:25

hug0r

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Hallo!

Lebesgue.

Lg.

26.11.2010, 13:22

gonnabphd

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Naja, dann untersuche mal, wohin die Funktionenfolgen punktweise konvergieren und verwende einen der Konvergenzsätze

27.11.2010, 12:33

hug0r

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Ok, fürs erste hab ich folgendes:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \inf} \sqrt[n]{e^{nx}+n^2x} \leq \lim_{n \to \inf} \sqrt[n]{e^{nx}} + \lim_{n \to \inf} \sqrt[n]{n^2x}=e^{x}+0=e^x \end{eqnarray*}$

und:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \inf} \sqrt[n]{e^{nx}+n^2x} \geq \lim_{n \to \inf} \sqrt[n]{e^{nx}} =e^x \end{eqnarray*}$

=>die f_n konvergieren gegen e^x.

D.h. ich finde für die $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ im Bereich [0,1] mit z.B. g(x)=3 eine L-integrierbare Majorante.

D.h. das Integral ist dann:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! e^x \, dx =e-1 \end{eqnarray*}$

Beim zweiten hab ich Schwierigkeiten, den Grenzwert zu bestimmen, und an der Stelle x=0 gibts auch keine Konvergenz, aber laut dem Satz von der maj. Konvergenz reicht es, wenn die f_n punktweise fast überall gegen eine messbare Grenzfunktion konvergieren.

27.11.2010, 16:42

gonnabphd

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \inf} \sqrt[n]{e^{nx}+n^2x} \leq \lim_{n \to \inf} \sqrt[n]{e^{nx}} + \lim_{n \to \inf} \sqrt[n]{n^2x}=e^{x}+0=e^x \end{eqnarray*}$

Nicht so ganz: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \inf} \sqrt[n]{n^2x} = 1 \end{eqnarray*}$ (es gibt immer ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} n^2x \ge 1 \end{eqnarray*}$ wird. Deshalb muss für hinreichend grosse $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n^2x} \ge 1 \end{eqnarray*}$ sein).

Aber der Grenzwert $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ stimmt dennoch: Beachte

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{e^{nx}+n^2x}= e^x \sqrt[n]{1+n^2xe^{-nx}} \end{eqnarray*}$

27.11.2010, 17:02

hug0r

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Ui, der Fehler ist bitter :X Hammer

Ok, mit deiner Umformung "sieht" man, dass die Wurzel für n -> inf 1 wird.

Bei der 2. steh ich nach wie vor an.

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