Folgenkonvergenz epsilon n definition

25.11.2010, 19:26

eurekleene13

Folgenkonvergenz epsilon n definition

Meine Frage:
beweisen sie jeweils mit hilfe der epsilon n definition der folgenkonvergenz
lim(n->unendlich) (2n^2-1)/(n^2+1)=2

Meine Ideen:
ohne epsilon n definition ist es ja ganz einfach
lim(n->unendlich) (2n^2-1)/(n^2+1)= (n^2(2-(1/n^2))/(n^2(1+(1/n^2))=(2-(1/n^2))/(1+(1/n^2))=(2-(1/n^2))/(1+(1/n^2))=2/1=2

aber wie bekomme ich das jetzt umgeschrieben in die epsilon n definition???

25.11.2010, 19:37

klarsoweit

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RE: Folgenkonvergenz epsilon n definition
Einfach mal die Folge in die Definition einsetzen.

25.11.2010, 19:47

eurekleene13

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RE: Folgenkonvergenz epsilon n definition
es gibt ein epsilon>0 für alle N gilt(n>N) :
|(2n^2-1)/(n^2+1)-2|<epsilon
aber wie bestimme ich in diesem Fall mein N?
|(2n^2-1)/(n^2+1)-2|<epsilon=|(2N^2-1)/(N^2+1)-2|<epsilon

25.11.2010, 19:59

klarsoweit

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RE: Folgenkonvergenz epsilon n definition

Zitat:

Original von eurekleene13
es gibt ein epsilon>0 für alle N gilt(n>N) :

So muß es heißen:

Für jedes epsilon > 0 gibt es ein N(epsilon), so daß für alle n mit n > N(epsilon) gilt: ...

Jetzt nimm mal $\begin{eqnarray*} |\frac{2n^2-1}{n^2+1} - 2| < \epsilon \end{eqnarray*}$ und bringe die linke Seite auf einen Bruch.

25.11.2010, 20:11

eurekleene13

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RE: Folgenkonvergenz epsilon n definition
meinst du das so?
|(n^2-1)/(n^2+1)|<epsilon

25.11.2010, 20:19

hug0r

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RE: Folgenkonvergenz epsilon n definition
Nein, denn der Grenzwert ist ja 2, deswegen ist:
$\begin{eqnarray*} |\frac{2n^2-1}{n^2+1} - 2|<\epsilon \end{eqnarray*}$

25.11.2010, 20:20

eurekleene13

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RE: Folgenkonvergenz epsilon n definition
aber wie bekomme ich denn jetzt die -2 am ende der fromel weg?

25.11.2010, 20:42

hug0r

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So wie klarsoweit gesagt hat, auf einen Nenner bringen smile

25.11.2010, 21:26

eurekleene13

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|(2n^2-1-2)/(n^2+1)|= |(2n^2-3)/(n^2+1)| und jetzt

25.11.2010, 22:19

klarsoweit

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Nein, so geht es nicht. Da müssen wir mal wieder (auch bei Abiturienten) das Kapitel "Bruchrechnung" aufschlagen.

Wie rechnest du $\begin{eqnarray*} \frac 3 4 - 2 \end{eqnarray*}$ ?

27.11.2010, 00:37

2,718

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Momentan habe ich das gleiche problem:

also wenn ich beide auf den Nenner bringe steht da:

|-3/(n²+1)|<|-3/(N²+1)|<e ||n>N

= 3/(N²+1)<e
=3<eN²+e
(3-e)/e<N² | Dann wurzel ziehen

Jetzt kommr der schritt den ich nicht nicht verstehe oder einfach nur falsch ist.
Ich habe da oben nun ein Wurzelterm<N
kann ich dann einfach diesen Term als N definieren und für klein n einsetzen?
Es müsste ja noch gelten, dass es kleiner als Epsilon ist.

Lg

27.11.2010, 14:58

klarsoweit

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Zitat:

Original von 2,718
|-3/(n²+1)|<|-3/(N²+1)|<e ||n>N

Die Abschätzung $\begin{eqnarray*} |\frac{-3}{n^2+1}| < \frac{3}{N^2} \end{eqnarray*}$ ist einfacher.

Wähle N nun so, daß $\begin{eqnarray*} \frac{3}{N^2} = \epsilon \end{eqnarray*}$ ist.

Zitat:

Original von 2,718
kann ich dann einfach diesen Term als N definieren

Ja.

Zitat:

Original von 2,718
und für klein n einsetzen?

Nein.

28.11.2010, 21:06

Imaking

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Ich muss hier mal was fragen:

für n > N gilt doch:

$\begin{eqnarray*} |\frac {-3}{n^2+1} | > |\frac {-3}{N^2+1} | \end{eqnarray*}$

oder habe ich jetzt ein Brett vorm Kopf? verwirrt

28.11.2010, 21:08

Imaking

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Sry, ich hatte ein riesiges Brett vorm Kopf und befand mich zudem im Wald voller Bäume arghh!!

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