vollständige induktion

25.11.2010, 19:46

üpo1

Auf diesen Beitrag antworten »

vollständige induktion

Meine Frage:
Hallo, ich sol folgende Reihe durch vollständige Induktion beweisen

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^n \frac{1}{k*(k-1) } = 1 - \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
aber ich habe ja zwei variabeln ... nach welcher soll ich denn beweisen?
und wie sähe dann der induktionsanfang aus? dann hätte ich ja wenn ich nach k gehe, auf der linken seite eine zahl, und auf der rechten seite ein n ... *hilfe*

danke smile

smile

25.11.2010, 19:53

Huy

Auf diesen Beitrag antworten »

Das k ist nur eine Laufvariable...
Du machst also vollständige Induktion über n. Alles andere macht wenig Sinn. Dann kriegst du auch auf beiden Seiten eine Zahl beim Induktionsanfang...

MfG

25.11.2010, 19:56

üpo1

Auf diesen Beitrag antworten »

das hatte ich auch schon durchgerechnet... muss ich dann für n = 1 nehmen, obwohl ja die summe von k bis n gemeint ist, und k ja bei 2 liegt ...

aber nur durch n = 1 würde bei mir auf der rechten und linken seite das selbe rauskommen

25.11.2010, 19:57

üpo1

Auf diesen Beitrag antworten »

n=2 meine ich...

25.11.2010, 19:58

Huy

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von üpo1
das hatte ich auch schon durchgerechnet... muss ich dann für n = 1 nehmen, obwohl ja die summe von k bis n gemeint ist, und k ja bei 2 liegt ...

Du darfst für n irgendeine natürliche Zahl nehmen, das ist ja der Sinn des Induktionsanfangs: Zu zeigen, dass die Annahme zumindest für EINE natürliche Zahl stimmt...

Zitat:

aber nur durch n = 1 würde bei mir auf der rechten und linken seite das selbe rauskommen

Wie kommst du denn darauf?

Zitat:

n=2 meine ich...

D.h. die Gleichung stimmt nur für n=2??

MfG

25.11.2010, 20:02

üpo1

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

D.h. die Gleichung stimmt nur für n=2??

MfG

wenn ich für k=2 und n=2 einsetze, ja

Anzeige

25.11.2010, 20:03

Huy

Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst k nicht setzen, k ist eine Laufvariable, die von 2 startet und bei n aufhört. Und du hast gesagt, dass die Gleichung NUR für n = 2 stimmt. Deine Aufgabe ist es, durch vollständige Induktion zu zeigen, dass die Gleichung für ALLE natürliche Zahlen stimmt. Ist das nicht etwas widersprüchlich?

MfG

25.11.2010, 20:08

üpo0

Auf diesen Beitrag antworten »

aber ich muss durch für k erstmal einen beliebigen wert einsetzten, damit ich eine zahl herausbekomme, oder? wenn ich k=3 setzen würde, dann ist die linke seite 1/6
und die recht seite für n =3 wäre 2/3

da stimmt doch was nicht oder verstehe ich es nur nicht? ich dachte es muss auf beiden seiten egal welche zahl man einsetzt das selbe herauskommen ...

25.11.2010, 20:09

Huy

Auf diesen Beitrag antworten »

Weisst du überhaupt, wie so eine Summe funktioniert? Was ist x:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^3 k = x \end{eqnarray*}$ ?

MfG

25.11.2010, 20:10

üpo1

Auf diesen Beitrag antworten »

1+2+3

25.11.2010, 20:11

Huy

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Und was passiert nun, wenn du bei deiner Gleichung n = 3 (auf beiden Seiten!) setzt?

MfG

25.11.2010, 20:12

Armada

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Huy

Du darfst für n irgendeine natürliche Zahl nehmen, das ist ja der Sinn des Induktionsanfangs: Zu zeigen, dass die Annahme zumindest für EINE natürliche Zahl stimmt...

MfG

Aber nicht, wenn die Gleichung für alle natürlichen Zahlen größer 1 bewiesen werden soll.
Denn falls z.B. A(10) wahr ist und der Induktionsschluss für alle natürliche Zahlen gilt, so könnten doch die Aussagen A(<10) durchaus alle falsch sein.

Das ist ja gerade das Besondere an der VI.

Gruß
A

25.11.2010, 20:14

Huy

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Armada
Aber nicht, wenn die Gleichung für alle natürlichen Zahlen größer 1 bewiesen werden soll.

Mir ist bewusst, dass man auch Aussagen für alle n > c, c sei eine natürliche Zahl, mittels Induktion beweisen kann.
Der Threadersteller hat an keiner Stelle erwähnt, dass die Gleichung nur für alle n > 1 bewiesen werden soll.
Die Gleichung stimmt für alle natürlichen Zahlen, nicht nur für alle natürlichen Zahlen n > 1.

MfG

25.11.2010, 20:19

Armada

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Huy

[*]Die Gleichung stimmt für alle natürlichen Zahlen, nicht nur für alle natürlichen Zahlen n > 1.
[/list=1]

MfG

Sorry, aber für mich war $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^1... \end{eqnarray*}$ nicht definiert.
Lerne halt noch dazu.
Gruß
A

25.11.2010, 20:22

üpo1

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Huy
Ok. Und was passiert nun, wenn du bei deiner Gleichung n = 3 (auf beiden Seiten!) setzt?

MfG

aah ja da hatte ich einen denkfehler drinnen. natürlich stimmt das dann auch ...

juhu und soeben hab ich auch den induktionsschritt geschafft.

danke

aber nun soll man aus den oberen berechnungen folgern dass die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{2} } \end{eqnarray*}$ konvergiert

woher weiß ich welches kriterium ich andwenden muss?

25.11.2010, 20:27

Huy

Auf diesen Beitrag antworten »

Majorantenkriterium.

MfG

//e: Wenn du zeigen willst, dass etwas konvergiert, dann kannst du z.B. zeigen, dass eine Reihe, die grösser gleich der gegebenen Reihe ist, konvergiert. Wenn du zeigen willst, dass etwas divergiert, dann kannst du z.B. zeigen, dass eine Reihe, die kleiner gleich der gegebenen Reihe ist, divergiert.

25.11.2010, 20:32

üpo0

Auf diesen Beitrag antworten »

mh ok, nachdem die gerade eben bewiesene folge größer als die jetztige ist, kann ich schreiben:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^n \frac{1}{k(k-1)} \geq \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{2} } \end{eqnarray*}$

ist das dann schon bewiesen?

25.11.2010, 20:39

Huy

Auf diesen Beitrag antworten »

Auf keinen Fall. Die Idee ist aber richtig. Du weisst, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k(k-1)} \geq \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$

Nun musst du aber den Fall $\begin{eqnarray*} n = \infty \end{eqnarray*}$ untersuchen. Da du für die linke Summe eine nützliche Formel bewiesen hast, dürfte das aber nicht allzuschwer werden.

MfG

25.11.2010, 20:44

üpo0

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Huy
. Da du für die linke Summe eine nützliche Formel bewiesen hast, dürfte das aber nicht allzuschwer werden.

MfG

meinst du $\begin{eqnarray*} 1 - \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ?

somit wäre dann wenn man die grenzwerte anschaut $\begin{eqnarray*} 1 \geq 0 \end{eqnarray*}$ ?

25.11.2010, 20:46

Huy

Auf diesen Beitrag antworten »

Du betrachtest $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} 1 - \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und folgerst daraus, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$ konvergiert...

MfG

25.11.2010, 20:49

üpo0

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Huy
Du betrachtest $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} 1 - \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

-> lim = 1

und folgerst daraus, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$ konvergiert...

MfG

da der $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} 1 - \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ = 1 größer als $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$ = 0 ist

nun habe ich doch bewiesen dass diese auch konvergiert oder?

25.11.2010, 20:52

Huy

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von üpo0
da der $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} 1 - \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ = 1 größer als $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$ = 0 ist

Der Limes ist grösser gleich die Summe 1/k^2. Allerdings ist die Summe von allen 1/k^2 SICHER NICHT 0...

MfG

25.11.2010, 20:52

üpo0

Auf diesen Beitrag antworten »

[/quote]

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$ = 0 [/quote]

ich meinte das limeszeichen, nicht das summenzeichen

25.11.2010, 20:58

Huy

Auf diesen Beitrag antworten »

Da ich keine Ahnung habe, was du effektiv verstanden hast und was nicht, fasse ich nochmal zusammen:

Du hast zuerst folgende Formel bewiesen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^n \frac{1}{k \cdot (k-1)} = 1- \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Anschliessend hast du gezeigt, dass folgende Ungleichung stimmt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k(k-1)} \geq \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt natürlich direkt, dass:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k-1)} \geq \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$

Da du eine schöne Formel für die linke Summe in n hast, stellst du fest, dass:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k-1)}= \lim_{n \to \infty} 1 - \frac{1}{n} = 1 \end{eqnarray*}$

Da du nun gezeigt hast, dass eine Summe, die grösser gleich sum(1/k^2) ist, konvergiert, schliesst du, dass sum(1/k^2) ebenfalls konvergiert. (Über den Grenzwert kannst du aber KEINE Aussage machen!)

MfG

25.11.2010, 21:08

üpo0

Auf diesen Beitrag antworten »

ah ok, vielen dank für deine hilfe.
ich glaube ich habe es jetzt verstanden.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »