Komplexe Gleichung Radizieren

25.11.2010, 20:05

Stahlhammer

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Komplexe Gleichung Radizieren

Nabend zusammen

Gegeben: $\begin{eqnarray*} z^{2} + \frac{6-2j}{1-2j} \cdot z -6j =0 \end{eqnarray*}$
Nach Umformung erhalte ich: $\begin{eqnarray*} z^{2} + z\cdot \left(2+ 2j\right) - 6j= 0 \end{eqnarray*}$

Nach Anwenden der quadratischen Ergänzung erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \left(z + \left(1+j\right) \right) ^{2}- 8j =0 \end{eqnarray*}$

Nach dem Radizieren erhalte ich: $\begin{eqnarray*} z_{1} = \sqrt{8j} - 1- j \quad \vee \quad z_{2} = -\sqrt{8j} - 1- j \end{eqnarray*}$

Als Ergebnis soll aber $\begin{eqnarray*} z_{1} =1+j \quad \vee \quad z_{2} = -3-3j \end{eqnarray*}$ herauskommen.
Wo liegt mein Fehler?

25.11.2010, 20:31

Huy

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Wie kommst du zu dieser quadratischen Ergänzung?

MfG

25.11.2010, 20:38

Stahlhammer

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Ich hatte oben einen Fehler gamacht.

Quadratisch ergänzt habe ich so:

$\begin{eqnarray*} z^{2} + z\cdot \left(2+2j\right) +\left( \frac{2+2j}{2} \right) ^{2} - \left( \frac{2+2j}{2} \right) ^{2} -6j = 0 \end{eqnarray*}$

25.11.2010, 20:45

Huy

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Was ist die Wurzel von 8i?

MfG

25.11.2010, 20:51

Stahlhammer

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ich bin mir nicht sicher, ob man das dann noch weiter vereinfachen kann?

$\begin{eqnarray*} \sqrt{8j} = 2\cdot \sqrt{2j} \end{eqnarray*}$

25.11.2010, 20:52

Huy

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Weisst du, was die Wurzel von i ist?

MfG

//e: Hattet ihr Polarkoordinaten schon?

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25.11.2010, 21:01

Stahlhammer

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Zitat:

Original von Huy
Weisst du, was die Wurzel von i ist?

Nein, eben nicht, ich weiß nur, dass j² = -1 ist.

Zitat:

Original von Huy Hattet ihr Polarkoordinaten schon?

Ja, wir sollen die Lösung aber nur mithilfe der kartesischen Form finden.

25.11.2010, 21:06

Huy

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Also ehrlich gesagt, weiss ich gerade nicht, wie das möglich ist. Du musst - so wie ich das sehe - die Wurzel von i kennen. Ansonsten geht das nicht. Rechne sie doch einfach mal in Polarkoordinaten aus und wandle dann in kartesische Form um.

MfG

25.11.2010, 21:11

corvus

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RE: Komplexe Gleichung Radizieren

Zitat:

Original von Stahlhammer
Nabend zusammen

Gegeben: $\begin{eqnarray*} x^{2} + \frac{6-2j}{1-2j} \cdot z -6j =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(z + \left(1+j\right) \right) ^{2}- 8j =0 \end{eqnarray*}$

Als Ergebnis soll aber $\begin{eqnarray*} z_{1} =1+j \quad \vee \quad z_{2} = -3-3j \end{eqnarray*}$ herauskommen.
Wo liegt mein Fehler?

abgesehen davon, dass es bei der ersten Gleichung
wohl nicht x² sondern z² heissen sollte,

hast du keinen Fehler gemacht .. du bist nur noch nicht fertig,

da noch die Gleichung w²= 8j zu lösen ist.
setze zB für w= u+jv
dann bekommst du für die beiden reellen Zahlen u und v
das Gleichungssystem
u²-v²= 0
u*v = 4

das kannst du sicher problemlos lösen ..
dann hast du die beiden komplexen Zahlen, die quadriert 8j ergeben
und kannst das dann in deine Lösungsformel einsetzen
und Freude wird aufkommen..

ok?

25.11.2010, 21:29

Stahlhammer

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Ich steig da noch nicht richtig durch verwirrt

verwirrt

Setze ich also:
$\begin{eqnarray*} \left(u +j\cdot v\right) ^{2} = 8j \Rightarrow u^{2} + v^{2} = 8j \end{eqnarray*}$

und wie kommst du auf: u*v = 4?

25.11.2010, 21:36

corvus

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Zitat:

Original von Stahlhammer

Setze ich also:
$\begin{eqnarray*} \left(u +j\cdot v\right) ^{2} = 8j \Rightarrow u^{2} + v^{2} = 8j \end{eqnarray*}$
............................................................ unglücklich

unglücklich

und wie kommst du auf: u*v = 4?

es ist:
$\begin{eqnarray*} \left(u +j\cdot v\right) ^{2} = u^2 +2*u*v*j - v^2 \end{eqnarray*}$

und jetzt mach selbst nochmal richtig weiter. ->.....
.

25.11.2010, 21:56

Stahlhammer

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u²-v²+2*u*v*j =8*j

Das heisst u²-v² müssen Null sein,weil auf der rechten Seite der Realteil Null ist?

aus 2*u*v*j =8*j folgt u*v=4

Aus dem Gleichungssystem folgt u=v=2

darauf folgt:
$\begin{eqnarray*} \left(z+1+j\right) ^{2} = \left(2+2j\right) ^{2} \end{eqnarray*}$
damit komme ich auf die richtigen Ergebnisse.

Vielen Dank für die Hilfe, das war echt eine harte Nuss!

25.11.2010, 22:03

corvus

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Zitat:

Original von Stahlhammer

Aus dem Gleichungssystem folgt u=v=2

!

das Gleichungssystem hat nicht nur diese Lösung
.

26.11.2010, 14:06

Stahlhammer

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Zitat:

Original von corvus

das Gleichungssystem hat nicht nur diese Lösung
.

Ja stimmt, -2 kommt auch noch in Betracht

26.11.2010, 15:20

Stahlhammer

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So, ich habe eine neue Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \left(z^{6} + 64\right) \cdot \left(z^{3}-27 \right) = 0 \end{eqnarray*}$

Ich habe zuerst die Faktoren getrennt, sodass:

$\begin{eqnarray*} \left(z^{6} + 64\right)= 0 \quad \vee \quad \left(z^{3}-27 \right) = 0 \end{eqnarray*}$

Dann habe ich aus dem ersten Term die Wurzel gezogen, sodass:

$\begin{eqnarray*} z^{3}= 8j \quad \vee \quad z^{3} = -8j \quad \vee \quad z^{3} = 27 \end{eqnarray*}$

Muss ich jetzt mit der Substituzion weitermachen und wenn ja wie genau?

Wenn nein, mit welchem Verfahren kann ich weiterrechnen?

26.11.2010, 19:57

corvus

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Zitat:

Original von Stahlhammer
So, ich habe eine neue Aufgabe: Gott

Gott

$\begin{eqnarray*} \left(z^{6} + 64\right) \cdot \left(z^{3}-27 \right) = 0 \end{eqnarray*}$

Ich habe zuerst die Faktoren getrennt, sodass:

$\begin{eqnarray*} \left(z^{6} + 64\right)= 0 \quad \vee \quad \left(z^{3}-27 \right) = 0 \end{eqnarray*}$

Dann habe ich aus dem ersten Term die Wurzel gezogen, sodass:

$\begin{eqnarray*} z^{3}= 8j \quad \vee \quad z^{3} = -8j \quad \vee \quad z^{3} = 27 \end{eqnarray*}$

jetzt kannst du jede der drei Aufgaben lösen..
die Lösung der ersten Aufgabe hast du ja schon erfolgreich überstanden ..

jetzt kannst du zB nach gleichem Muster die beiden anderen Aufgaben erledigen..

.

27.11.2010, 09:24

Stahlhammer

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Ich habe das jetzt mal versucht zu substituieren mit:

$\begin{eqnarray*} z^{3} = (u+jv)^{3} \\ \Rightarrow (u+jv)^{3} = 8j \end{eqnarray*}$

Im folgenden kam ich auf die zwei Ausdrücke, die ich aber nicht weiter interpretieren kann:
$\begin{eqnarray*} u^{3} + uv^{2} = 0 \quad \vee \quad v\cdot \left(u^{2} + v^{2} \right) = -8j \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand weiterhelfen?

27.11.2010, 14:33

corvus

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Zitat:

Original von Stahlhammer
Ich habe das jetzt mal versucht zu substituieren mit:

$\begin{eqnarray*} z^{3} = (u+jv)^{3} \\ \Rightarrow (u+jv)^{3} = 8j \end{eqnarray*}$

Im folgenden kam ich auf die zwei Ausdrücke, die ich aber nicht weiter interpretieren kann:
$\begin{eqnarray*} u^{3} + uv^{2} = 0 \quad \vee \quad v\cdot \left(u^{2} + v^{2} \right) = -8j \end{eqnarray*}$ geschockt

geschockt

geschockt

Kann mir jemand weiterhelfen?

hast du wirklich immer noch nicht kapiert, dass komplexe Zahlen genau dann
gleich sind, wenn sie in Realteil und Imaginärteil übereinstimmen..
..und dass beim Imaginärteil kein j mehr vorkommt - (warum?)

$\begin{eqnarray*} z^{3} = (u+jv)^{3} = u^3+ j*3u^2v - 3uv^2 - j*v^3 \end{eqnarray*}$

welches ist der Realteil .. und welches der Imaginärteil von z³ ?
und welches ist Real- bzw Imaginärteil der rechten Seite 0+8j ?

also:
wie heissen die beiden Gleichungen, die sich für z³=8j dann ergeben?

.

27.11.2010, 15:57

Stahlhammer

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Man erhält:
$\begin{eqnarray*} u^{3} - 3uv^{2} = 0 \qquad und \qquad 3u^{2}v- v^{3} = 8 \\<br /> \Rightarrow u= \sqrt{3} \qquad oder \qquad u= - \sqrt{3} \qquad und \qquad v= 1 \end{eqnarray*}$

daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} z = \sqrt{3} + j \\ z = - \sqrt{3} + j \\ z = 2j \end{eqnarray*}$

wie kommt man auf z = 2j?

27.11.2010, 17:31

corvus

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Zitat:

Original von Stahlhammer
Man erhält:
$\begin{eqnarray*} u^{3} - 3uv^{2} = 0 \qquad und \qquad 3u^{2}v- v^{3} = 8 \\<br /> \Rightarrow u= \sqrt{3} \qquad oder \qquad u= - \sqrt{3} \qquad und \qquad v= 1 \end{eqnarray*}$

daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} z = \sqrt{3} + j \\ z = - \sqrt{3} + j \\ z = 2j \end{eqnarray*}$

wie kommt man auf z = 2j?

hier doch gar nicht :
wenn u=0 (erste Gleichung) , dann ist -v³=8 (zweite Gleichung)
.. also v³= - 8 und damit dann v= - 2
->
$\begin{eqnarray*} z = - 2j \end{eqnarray*}$

ok?

28.11.2010, 18:26

Stahlhammer

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Ja danke, jetzt ist alles klar, habe die anderen 6 Lösungen auch raus bekommen, passen auch mit der Musterlösung über ein smile

smile

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