stetig Diffb'bare funktion

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Idiot Auf diesen Beitrag antworten »
stetig Diffb'bare funktion
Hallo,

ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:
Es sei T der Torus gegeben durch die Menge:



und ich habe eine Funktion g gegeben durch:

g:T->, g(x)=e^1(x).

d.h. g wird auf die 1. koordinate abgebilden.

Jetzt möchte ich zeigen, dass g beliebig oft diffbar ist. Mein Problem ist aber, dass meine Funktion nicht von gewöhnlichen Variablen abhängt sondern die elemente von T haben diese komplizierte form (R+....) usw. (siehe oben).

Wie kann ich denn unter diesen Umständen zeigen, dass g dennoch diffbar ist?

Gruß
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: stetig Diffb'bare funktion
Zitat:
Original von Idiot
und ich habe eine Funktion g gegeben durch:

g:T->, g(x)=e^1(x).

d.h. g wird auf die 1. koordinate abgebilden.


Hallo!

Was macht g, ist das eine e-Funktion oder eine Projektion?

Grüße Abakus smile
 
 
Idiot Auf diesen Beitrag antworten »

Das soll die Projektion auf die 1. Koordinate sein.

Gruß
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zeige doch allgemein, dass die Projektion differenzierbar ist und untersuche dann die Einschränkung auf spezielle Mengen.

Grüße Abakus smile
Idiot Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Ja das habe ich jetzt gemacht.
Das differential wäre doch dann Dg=(1,0,0).

Dazu habe ich noch zwei Frage:

1) wie sehen die weiteren Differentiale aus? Kann man alle ableitungen in matrixform darstellen?
Würde es reichen, dass 1 und 0 beliebig of differenzierbar ist?

2) Was würde passieren, wenn g als eine Abbildung zwischen Untermannigfaltigkeiten interpretiert würde?
Könnte man dieselbe Argumentation benutzen?

Vielen Dank für deine Hilfe!

Grüße
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Idiot
Das differential wäre doch dann Dg=(1,0,0).


OK, dazu brauchst du dann eine offene Menge als Definitionsbereich.

Zitat:
1) wie sehen die weiteren Differentiale aus? Kann man alle ableitungen in matrixform darstellen?
Würde es reichen, dass 1 und 0 beliebig of differenzierbar ist?


Die Rede ist dann von sog. äußeren Differentialen. Und nein, die weiteren Ableitungen kannst du nicht in Matrixform darstellen (es kommt pro Ableitung eine Dimension dazu, denke ich). Wozu soll die beliebige Differenzierbarkeit reichen?

Zitat:
2) Was würde passieren, wenn g als eine Abbildung zwischen Untermannigfaltigkeiten interpretiert würde?
Könnte man dieselbe Argumentation benutzen?


Dieselbe Argumentation wofür, was willst du zeigen?

Grüße Abakus smile
Idiot Auf diesen Beitrag antworten »
RE: stetig Diffb'bare funktion
Hallo Abakus,

Ich bin mir nur unsicher, ob diese Argumentation ausreicht.
Was ist denn z.B. mit der projektion: g(|x|,y,z)=|x|? wäre diese auch diff'bar?

Evtl. muss man auch die Parametrisierung des Torus mit einbeziehen in die Argumentation.
Damit meine ich, dass f(u,v)=
auch stetig ist.

Gruß
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: stetig Diffb'bare funktion
Zitat:
Original von Idiot
Ich bin mir nur unsicher, ob diese Argumentation ausreicht.
Was ist denn z.B. mit der projektion: g(|x|,y,z)=|x|? wäre diese auch diff'bar?


Das erste Problem ist eine offene Menge (3-dimensional), die Du als Definitionsbereich brauchst, aber nicht hast. Oder denke ich hier falsch?

Erstmal anders gefragt, wozu brauchst Du das und wären andere Lösungswege denkbar vielleicht?

Grüße Abakus smile
Idiot Auf diesen Beitrag antworten »

Also warum ich das bruache weis ich ehrlich gesagt gar nicht^^.

Es ist einfach so: wir behandeln gerade das thema untermannigfaltigkeiten. Und sollen in diesem Zusammenhang zeigen, dass obige Funktion beliebig oft diff'bar ist.
Evtl. ist hier gar nicht die Frechet-Ableitung gemeint, sondern das differential zwischen Untermannigfaltigkeiten? Da würde sich die Frage stellen inwiefern das Sinn macht (ist das bild eine UMF überhaupt)?

Im 2. Schritt soll ich die kritischen Punkte von der funktion g berechnen, die es meiner ansicht nach gar nicht gibt, wenn ich df ganz gewöhnlich als frechet ableitung berechne. denn df=(1,0,0)

Ich bin gerade wirklich sehr verwirrt.

Gruß
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: stetig Diffb'bare funktion
Zitat:
Original von Idiot
und ich habe eine Funktion g gegeben durch:

g:T->, g(x)=e^1(x).

d.h. g wird auf die 1. koordinate abgebilden.


Wieso steht hier als Wertebereich der , wenn es eine Projektion auf die erste Komponente ist? Da würde doch ausreichen?

Verstehen wir hier etwas falsch vielleicht?

Grüße Abakus smile
Idiot Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das tut mir leid. Das muss auch IR heißen. Das war ein tippfehler. Entschuldige bitte das missverständnis.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: stetig Diffb'bare funktion
OK, dann nochmal weitergefragt, was bedeutet dieses e^1(x), das heißt ja ?

Grüße Abakus smile
Idiot Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das soll wirklich heißen, also auf die 1. Koordinate abbilden.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Der Wertebereich ist jedenfalls [-R-r, R+r] erstmal. Das ist keine 1-dimensionale Mannigfaltigkeit von , denn es ist ja nicht offen. Es könnte natürlich eine Mannigfaltigkeit des usw. sein?

Und das g ist jedenfalls hochgradig nicht injektiv. Bedeutet das jetzt was?

Ich finde den Dreh zu der Aufgabe eher nicht, fürchte ich verwirrt .

Grüße Abakus smile
Idiot Auf diesen Beitrag antworten »

Nunja, kann man wohl níchts machen. Ich bin auf die "Muster-Lösung" echt mal gespannt.

Ich danke dir sehr Abakus, ich weis deine Mühe und Hilfe echt zu schätzen.

Viele Grüße
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