Folgende Mengen sind Unterräume

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curo Auf diesen Beitrag antworten »
Folgende Mengen sind Unterräume
Meine Frage:
Hi Leute, ich weiß diese Frage wurde schon gestellt, aber ich wollte hier nur meine Lösung reinstellen, hoffe ihr könnt mich berichtigen.
Sei die Menge aller Abbildungen . Zeigen Sie:
Die Mengen
{ }
{ }
sind Untervektorräume von und es gilt . (Die Abbildungen
in heißen gerade, die in ungerade.)


Meine Ideen:
Nun wir müssen vier Dinge zeigen.
1. Ich muss zeigen, dass es
a) sich nicht um Leere Mengen handelt.
b) die Abgeschlossenheit bzgl. der Addition im Vektorraum.
c) die Abgeschlossenheit bzgl. der Multiplikation mit einem Skalar der Reellen Zahlen (in diesem Fall) im Vektorraum.
2. Da es sich hier um eine Direkte Summe handelt, müssen wir zeigen dass
(Nullfunktion) sein muss.
3. Ich muss zeigen können, dass V=G+U
4. Ich muss nun aus allem was wir herausgefunden haben schließen können, das V die direkte Summe von G und U ist.

Zuerst def. wir folgendes:





Zu 1a)
Nun da G die Menge aller geraden Polyn. und U die Menge aller ung. Pol. ist und die Pol. von G und U als El. von V def. sind, müssen beide Mengen f(x)=0 enthalten, da es sich hierbei um das neutrale El. der Addition handelt.
b) Sei , , , da Addition von zwei Polynomen mit geraden Exponenten wieder ein Polynom mit geraden Exponenten ergibt

Sei , , ,da Addition von zwei Polynomen mit ungeraden Exponenten wieder ein Polynom mit ungeraden Exponenten ergibt
c)Sei, , , da die Multip. eines Polynoms mit geraden Exponenten mit einem Skalar wieder ein Polynom mit geraden Exponenten ergibt.

Sei, , , da die Multip. eines Polynoms mit ungeraden Exponenten mit einem Skalar wieder ein Polynom mit ungeraden Exponenten ergibt. Somit sin U und G Unterräume
2. (Nullvektor)
Hier bin ich mir nicht sicher. Ich würde so beweisen:

3. Nun wir können uns die unteren def. Poln. betrachten so stellen wir fest, dass jedes Polyn. aus Summe eines geraden und eines ungeraden Poln. gebildet werden kann, dh.
. Daraus folgt wiederum
4. Unter der Voraussetzung, dass gilt: , da wir feststellten dass gilt.

1. Sollte ich noch die Eindeutigkeit der Summendarstellung der direkten Summe beweisen?
2. Wie kriege ich die Frage bewiesen ohne etwas Voraussetzen zu müssen?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

superschwer
Doppelpost!
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

okay, bevor man dich hier weiter warten lässt....

Zunächst einmal scheinst du hier nur Polynome zu betrachten, dass ist so nicht richtig, denn du betrachtest die Menge aller Funktionen von den reellen Zahlen in die reellen Zahlen, das sind nicht nur Polynome.

aber die Eigenschaft, dass die addition von zwei Funktionen, für die gilt f(-x)=f(x) wieder eine funktion mit dieser Eigenschaft ist sollte leicht zu zeigen sein:

man betrachte g(x) und h(x) aus G und die Summe der beiden.

es ist g(-x)=g(x) und h(-x)=h(x), sei f(x)=g(x)+h(x), dann ist f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)+h(x)=f(x).

es ist viel einfacher, als du dir das glaube ich vorstellst.

die multiplikation zum beispiel mit einem Skalar ändert nichts, da das Skalar nicht von x abhängt.
curo Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deinen Beitrag
Was is denn mit dem Rest
Ich warrr ab der 2. sehr unsicherr ob ich das alles so schreiben kann

f(x)=f(-x) du willst wohl auf die Nullfunktion hinaus
Was meinst du mit es ändert sich nix bei Mulltip. mit skalar.
Wieviel hat sich bei meiner Mult. geändert
oder willst du darauf hinaus, ich solle schreiben z*f(x)=h(x) oder so änlich
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst für Funktionen im allgemeinen argumentieren, nicht nur für polynome, ansonsten wäre das der Vektorraum der Polynome und nicht der der Funktionen.

Aus diesem Grund ist deine ganze Argumentation so nicht richtig.

Mein letzter Post bezog sich auf die Abgeschlossenheit von G.

aber stimmt, das ist mir erst jetzt aufgefallen, du hast noch nicht gezeigt, dass die konstante Funktion f(x)=0 in deinem Unterraum liegt.
Prüfe doch erst einmal, ob G ein Unterraum ist.
curo Auf diesen Beitrag antworten »

1 abc geht doch um Unterraumkriterien
das mit den Polynomen muss ich wohl verbessern

kann ich nicht sagen f(x)=0 da f€V
 
 
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von curo
1 abc geht doch um Unterraumkriterien


das stimmt, ich wollte damit sagen, prüfe es doch erst einmal nur für einen Unterraum, dann ist der Post auch nicht so überladen.

abgeschlossenheit von G ist ja nun gezeigt, dass G nicht leer ist sollte klar sein, ergibt sich aber auch daraus, dass mindestens die Nullfunktion in G liegt.


Abgeschlossenheit unter Skalarmultiplikation sollte auch klar sein.

mach das doch noch mal in korrigierter form für G vor, dann könne wir schauen, ob und wo der Schuh drückt oder auch nicht.
curo Auf diesen Beitrag antworten »

Nun da G die Menge aller geraden Abb. und U die Menge aller ung. Abb. ist und die Abb. von G und U als El. von V def. sind, müssen beide Mengen f(x)=0 enthalten, da es sich hierbei um das neutrale El. der Addition handelt.
b) Sei , , , da Addition von zwei Abbild. mit geraden Exponenten wieder ein Abb. mit geraden Exponenten ergibt

Sei , , ,da Addition von zwei Abb. mit ungeraden Exponenten wieder ein Abb. mit ungeraden Exponenten ergibt
c)Sei, , , da die Multip. eines Abb. mit geraden Exponenten mit einem Skalar wieder ein Abb. mit geraden Exponenten ergibt.

Sei, , , da die Multip. einer Abb. mit ungeraden Exponenten mit einem Skalar wieder eine Abb. mit ungeraden Exponenten ergibt. Somit sin U und G Unterräume
curo Auf diesen Beitrag antworten »

a)Nun da G die Menge aller geraden Abb. und U die Menge aller ung. Abb. ist und die Abb. von G und U als El. von V def. sind, müssen beide Mengen f(x)=0 enthalten, da es sich hierbei um das neutrale El. der Addition handelt.

b) Sei , ,

Sei , , ,

c)Sei, , , da die Multip. eines Abb. mit geraden Exponenten mit einem Skalar wieder ein Abb. mit geraden Exponenten ergibt.

Sei, , , da die Multip. einer Abb. mit ungeraden Exponenten mit einem Skalar wieder eine Abb. mit ungeraden Exponenten ergibt. Somit sin U und G Unterräume
curo Auf diesen Beitrag antworten »

a)Nun da G die Menge aller geraden Abb. und U die Menge aller ung. Abb. ist und die Abb. von G und U als El. von V def. sind, müssen beide Mengen f(x)=0 enthalten, da es sich hierbei um das neutrale El. der Addition handelt.

b) Sei , ,

Sei , , ,

c)Sei, ,

Sei, ,
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von curo
a)Nun da G die Menge aller geraden Abb. und U die Menge aller ung. Abb. ist und die Abb. von G und U als El. von V def. sind, müssen beide Mengen f(x)=0 enthalten, da es sich hierbei um das neutrale El. der Addition handelt.


ja, müssen sie, damit es Untervektorräume sind, aber enthalten sie das element f(x)=0 auch?

Zitat:
Original von curo
b) Sei , ,

Sei , , ,

c)Sei, , , da die Multip. eines Abb. mit geraden Exponenten mit einem Skalar wieder ein Abb. mit geraden Exponenten ergibt.

Sei, , , da die Multip. einer Abb. mit ungeraden Exponenten mit einem Skalar wieder eine Abb. mit ungeraden Exponenten ergibt. Somit sin U und G Unterräume


und du hast immer noch die exponenten in deiner argumentation, aber es handelt sich wie gesagt nicht nur um polynome.

ich mache dir das mal für den Unterraum G vor:

a) Nicht leer und f(x)=0 liegt in G

f(x)=0 liegt in G, da gilt: f(x)=0 und f(-x)=0, damit ist f(-x)=f(x).

b) Abgeschlossenheit:

seien g(x) und h(x) zwei funktionen aus G und es ist i(x)=g(x)+h(x).

es ist zu zeigen, dass auch i(x) in V liegt.

mit g(-x)=g(x) und h(-x)=h(x) gilt i(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)+h(x)=i(x) und damit liegt auch i(x) in G.

c) Abgeschlossenheit unter multiplikation von skalaren:

sei k aus den reellen zahlen und f(x) aus V, wir definieren h(x)=k*f(x), nun ist f(-x)=f(x) da f aus G, es ist h(-x)=k*f(-x)=k*f(x)=h(x) und damit gilt h(-x)=h(x) also liegt auch h in G.

so einfach ist das ganze eigentlich und du argumentierst dich mit exponenten tot Augenzwinkern
curo Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Hilfe
Ich habs noch nicht so ganz mit den Formalitäten, deswegen gebe ich da meistens noch ne begündung bei. Muss mich langsam umgewöhnen.
Aber was is mit dem Rest?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von curo
Danke für deine Hilfe
Ich habs noch nicht so ganz mit den Formalitäten, deswegen gebe ich da meistens noch ne begündung bei. Muss mich langsam umgewöhnen.
Aber was is mit dem Rest?


jetzt versuch dich analog einmal daran, zu zeigen, dass U ein Unterraum ist.

die Summe U+V bilden wir dann danach, ich muss auch jetzt ins Bett, hab die Zeit nen bissel vertrödelt.

ich schaue morgen noch mal rein
curo Auf diesen Beitrag antworten »

Danke nochmal
curo Auf diesen Beitrag antworten »

Hieße das eigentlich nicht, dass G und U aus der Menge der Nullfunktion bestehen?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von curo
Hieße das eigentlich nicht, dass G und U aus der Menge der Nullfunktion bestehen?


was meinst du denn mit "die Menge der Nullfunktion"?

Meinst du damit die Menge, die nur die konstante Funktion f(x)=0 enthält?
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