Lineare Abblildungen mit Supremum

25.11.2010, 22:53

Slashy

Lineare Abblildungen mit Supremum

Halle liebe Gemeinde,

ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe. Dabei soll ich überprüfen ob die Abbildung linear ist.

die Aufgabe ist:
$\begin{eqnarray*} F: \mathbb R ² \Rightarrow \mathbb R , F(x,y)=(2|y|, -sup \left\{x, 0\right\} )^T \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} (x,y) T \in \mathbb R ² \end{eqnarray*}$

Also wie ich es grundsätzlich Rechne wüsste ich, denke ich:

Ich setze $\begin{eqnarray*} F(\alpha x1+\beta x2, \alpha y1+\beta y2) \end{eqnarray*}$ ein und schaue ob sich das Ergebnis in $\begin{eqnarray*} \alpha F(x1,y1) + \beta F(x2,y2) \end{eqnarray*}$ umformen lässt.

Was mir aber Probleme bereitet ist:
1. das |y|....kann ich das einfach so weiterverwenden
2. das $\begin{eqnarray*} -sup \left\{x, 0\right\} \end{eqnarray*}$ ...da hab ich keinen Plan, zumal ich mir nicht so richtig vorstellen kann, was der Ausdruck überhaupt heißt.

Dann hätte ich ne allgemine Frage zum Supremum, um zu wissen ob ich mir das richtig vorstelle:

$\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und es gilt $\begin{eqnarray*} a\leq 5 \end{eqnarray*}$ . Also ist a nach oeben beschränkt und im Falle
a) ist 5 auch die kleinste obere Schranke und damit das Supremum von a
b) es gilt auch $\begin{eqnarray*} 3<5 , a\leq 3 \end{eqnarray*}$ . Dann ist 5 die obere Schranke, aber 3 die kleinste obere Schranke. Also ist 3 das Supremum von a.

Bei b) verstehe ich aber nicht wenn gilt $\begin{eqnarray*} a\leq 5, a\leq 3 \end{eqnarray*}$ , wie kann 5 überhaupt noch eine obere Schranke sein. a muss schließlich immer kleiner/gleich 3 sein.
Oder anders Formuliert, wie kann es eine kleinste obere Schranke geben?

Hoffe das ist verständlich formuliert und ihr könnt mir auf die Sprünge helfen.

~Slashy

25.11.2010, 23:32

Mulder

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RE: Lineare Abblildungen mit Supremum

Zitat:

Original von Slashy
die Aufgabe ist:
$\begin{eqnarray*} F: \mathbb R ² \Rightarrow \mathbb R , F(x,y)=(2|y|, -sup \left\{x, 0\right\} )^T \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} (x,y) T \in \mathbb R ² \end{eqnarray*}$

Bevor irgendetwas anderes gemacht werden kann, solltest du deine Angaben korrigieren. Einmal sagst du, f würde in die reellen Zahlen abbilden, und dann ist das Bild unter f plötzlich ein Vektor aus dem R². Bildet f vielleicht doch in den R² ab? Oder was genau macht f?

26.11.2010, 00:41

Slashy

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RE: Lineare Abblildungen mit Supremum
Srry ich Blödmann hab ein "²" vergessen. Also F bildet in den R²
Hier nochmal korrigiert:

$\begin{eqnarray*} F: \mathbb R ²\Rightarrow \mathbb R ² , F(x,y)= (2|y|, -sup\left\{ x,0\right\} )^T \end{eqnarray*}$
für alle $\begin{eqnarray*} (x,y)^T \in \mathbb R ² \end{eqnarray*}$

26.11.2010, 01:18

Mulder

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RE: Lineare Abblildungen mit Supremum
Okay.

Zitat:

Original von Slashy
Was mir aber Probleme bereitet ist:
1. das |y|....kann ich das einfach so weiterverwenden
2. das $\begin{eqnarray*} -sup \left\{x, 0\right\} \end{eqnarray*}$ ...da hab ich keinen Plan, zumal ich mir nicht so richtig vorstellen kann, was der Ausdruck überhaupt heißt.

Bei Frage 1 weiß ich nicht genau, was du meinst. Inwiefern "weiterverwenden"?

Bei Frage 2 schätze ich mal, dass das hier gemeint ist:

$\begin{eqnarray*} \sup \{x,0\}=\begin{cases} x, & \text{für} \, \, x \geq 0\\ 0, & \text{für} \, \, x<0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Kenne ich eher mit der Bezeichnung max{x,0}, aber auch mit dem sup macht etwas anderes wohl keinen Sinn.

Wenn F so beschaffen ist, dann würde ich einfach mal einzeln nachprüfen. Schau zum Beispiel mal, ob

$\begin{eqnarray*} \alpha F (x,y) = F (\alpha x, \alpha y) \end{eqnarray*}$

erfüllt ist (Homogenität).

Zu deiner Frage mit den oberen Schranken: Wenn du irgendeine Menge hast, dann ist a eine obere Schranke, solange a nur größer gleich jedes Element aus dieser Menge ist. Wenn eine Menge nach oben beschränkt ist, dann gibt es ja auch nicht DIE obere Schranke, es gibt unendlich viele obere Schranken. Und nur die kleinste dieser oberen Schranken nennt man eben das Supremum. Beispiel:

$\begin{eqnarray*} A = \left \{ - \frac{1}{n} \, \bigg \vert \, n \in \mathbb N \right \} \end{eqnarray*}$

Das Supremum ist 0. Denn 0 ist die kleinste Zahl, die über allen Zahlen aus A liegt. Aber trotzdem ist zum Beispiel auch 2 eine obere Schranke, denn 2 ist größer als jedes Element aus A. Auch 5 ist eine obere Schranke. Oder 8, oder 100, oder 4000.

26.11.2010, 01:50

Slashy

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Zitat:

Original von Mulder
Bei Frage 2 schätze ich mal, dass das hier gemeint ist:

$\begin{eqnarray*} \sup \{x,0\}=\begin{cases} x, & \text{für} \, \, x \geq 0\\ 0, & \text{für} \, \, x<0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Kenne ich eher mit der Bezeichnung max{x,0}, aber auch mit dem sup macht etwas anderes wohl keinen Sinn.

Wenn F so beschaffen ist, dann würde ich einfach mal einzeln nachprüfen. Schau zum Beispiel mal, ob

$\begin{eqnarray*} \alpha F (x,y) = F (\alpha x, \alpha y) \end{eqnarray*}$

erfüllt ist (Homogenität).

Ja auf Homogenität wolte ich ja auch prüfen.
Also:
$\begin{eqnarray*} F(\alpha x1+\beta x2 , \alpha y1 + \beta y2)= \begin{pmatrix} 2\alpha |y1| + 2\beta |y2| \\ ..... \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und für die 2. Zeile rechne ich dann einmal - (x<0) und einmal -(x>0) ? (bin mir mit dem Minus nicht ganz sicher)
Sprich ich habe 2 Fälle in denen ich die Homogenität überprüfe?

Zitat:

Bei Frage 1 weiß ich nicht genau, was du meinst. Inwiefern "weiterverwenden"?

War bissl doof fromuliert, zugegeben. Ich meine ich muss für |y| nicht nochmal extra ne Fallunterscheidung machen, sondern kann es (wie oben) einfach weiter in der Rechnung als "|y|" schreiben...

28.11.2010, 11:43

Slashy

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Keiner noch eine Idee?
Bräuchte die Aufgabe bis Dienstag und würde die bis dahin auch gerne verstehen....

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