Doppelpost! superschwer

25.11.2010, 22:37

curo

superschwer

Meine Frage:
Hi Leute, ich weiß diese Frage wurde schon gestellt, aber ich wollte hier nur meine Lösung reinstellen, hoffe ihr könnt mich berichtigen.
Sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} := \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} Abb \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ( \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} , \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ) \end{eqnarray*}$ die Menge aller Abbildungen $\begin{eqnarray*} f : \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie:
Die Mengen
$\begin{eqnarray*} G:= \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} :f(-x)=f(x) \end{eqnarray*}$ }
$\begin{eqnarray*} U:= \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} :f(-x)=-f(x) \end{eqnarray*}$ }
sind Untervektorräume von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ und es gilt $\begin{eqnarray*} V = G \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ . (Die Abbildungen
in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ heißen gerade, die in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ungerade.)

Meine Ideen:
Nun wir müssen vier Dinge zeigen.
1. Ich muss zeigen, dass es
a) sich nicht um Leere Mengen handelt.
b) die Abgeschlossenheit bzgl. der Addition im Vektorraum.
c) die Abgeschlossenheit bzgl. der Multiplikation mit einem Skalar der Reellen Zahlen (in diesem Fall) im Vektorraum.
2. Da es sich hier um eine Direkte Summe handelt, müssen wir zeigen dass
$\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} U=0 \end{eqnarray*}$ (Nullfunktion) sein muss.
3. Ich muss zeigen können, dass V=G+U
4. Ich muss nun aus allem was wir herausgefunden haben schließen können, das V die direkte Summe von G und U ist.

Zuerst def. wir folgendes:
$\begin{eqnarray*} g(x)=\sum\limits_{i=0}^n a_{i}x^{i} und i\in \left\{ 0,2,4..n\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u(x)=\sum\limits_{i=0}^n b_{i}x^{i} und i\in \left\{ 0,1,3..n\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g2(x) = \frac{1}{2}(f(x) + f(-x)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u2(x) = \frac{1}{2}(f(x) - f(-x)) \end{eqnarray*}$

Zu 1a)
Nun da G die Menge aller geraden Polyn. und U die Menge aller ung. Pol. ist und die Pol. von G und U als El. von V def. sind, müssen beide Mengen f(x)=0 enthalten, da es sich hierbei um das neutrale El. der Addition handelt und da f(0)=f(-0)=-f(0)=-f(-0)=0 gilt.
b) Sei $\begin{eqnarray*} f_{1} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f_{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} V: \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f_{1} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (x) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} +f_{2}(x) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ( \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f_{1} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (x) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f_{2}(x) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f_{1} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f_{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ , da Addition von zwei Polynomen mit geraden Exponenten wieder ein Polynom mit geraden Exponenten ergibt

Sei $\begin{eqnarray*} u_{1} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} u_{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} V: \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} u_{1} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (x) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} +u_{2}(x) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ( \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} u_{1} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (x) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} u_{2}(x) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} u_{1} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} u_{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ,da Addition von zwei Polynomen mit ungeraden Exponenten wieder ein Polynom mit ungeraden Exponenten ergibt
c)Sei $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} V: \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f(x)=(z \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f)(x) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ , da die Multip. eines Polynoms mit geraden Exponenten mit einem Skalar wieder ein Polynom mit geraden Exponenten ergibt.

Sei $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} V: \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} u(x)=(z \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} u)(x) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ , da die Multip. eines Polynoms mit ungeraden Exponenten mit einem Skalar wieder ein Polynom mit ungeraden Exponenten ergibt. Somit sin U und G Unterräume
2. $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} U=0 \end{eqnarray*}$ (Nullvektor)
Hier bin ich mir nicht sicher. Ich würde so beweisen:
$\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} U<-->x \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in G\cap U \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} <-->x\in G\wedge x\in U \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} <-->x\in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} g(x)=\sum\limits_{i=0}^n a_{i}x^{i} und i\in \left\{ 0,2,4..n\right\} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \wedge x\in u(x)=\sum\limits_{i=0}^n b_{i}x^{i} und i\in \left\{ 0,1,3..n\right\} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} -->x\in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$
3. Nun wir können uns die unteren def. Poln. betrachten so stellen wir fest, dass jedes Polyn. aus Summe eines geraden und eines ungeraden Poln. gebildet werden kann, dh.
$\begin{eqnarray*} g2(x)+u2(x) = \frac{1}{2}(f(x) + f(-x))+\frac{1}{2}(f(x) - f(-x)) =f(x) \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt wiederum $\begin{eqnarray*} V=G+U \end{eqnarray*}$
4. Unter der Voraussetzung, dass $\begin{eqnarray*} V=G+U=0 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} V = G \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ , da wir feststellten dass $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} U=0 \end{eqnarray*}$ gilt.

1. Sollte ich noch die Eindeutigkeit der Summendarstellung der direkten Summe beweisen?
2. Wie kriege ich die Frage bewiesen ohne etwas Voraussetzen zu müssen?

25.11.2010, 22:54

Math1986

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Folgende Mengen sind Unterräume
Doppelpost, Titel ist Müll!

25.11.2010, 22:57

curo

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ja Sorry Leute aber es is auch schwierig

25.11.2010, 22:58

Math1986

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