[Karpfinger/Meyberg] Gruppen 2.3 (*)

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tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
[Karpfinger/Meyberg] Gruppen 2.3 (*)
Man soll aus der Gruppeneigenschaft Folgerungen beweisen. Sei G also eine Gruppe.

  1. Aut{G}={Id} => G ist abelsch.
    Angenommen G ist nicht abelsch. Dann finde ich mindestens 2 Elemente mit . Dann könnte ich alle Elemente, bis auf a und b auf sich abbilden, und weiter und . Dann ist und die Automorphismengruppe besteht nicht nur aus der Identität.

  2. ist ein Homomorphismus => G ist abelsch



    Warum reicht mir, wenn der Ansatz nicht schon falsch ist, im Gegensatz zu c hier ein Homomorphismus?

  3. ist ein Automorphismus => G ist abelsch

    Ich wollte mit der Kette:
    für alle
    argumentieren. Aber wo benutze ich denn - wenn das nicht eh schon falsch ist - die Automorphismuseigenschaft? Denn wenn ich die Rechnung in der S3 (nicht abelsch) mache, finde ich schnell ein Gegenbeispiel. verwirrt

    Scheitere ich in der S3, weil es dort kein Homomorphismus ist? Und Bijektion brauche ich, damit ich die Rechnung für alle Elemente machen kann? verwirrt




kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Die wichtige Eigenschaft bei der c) ist dass es ein Homomorphismus ist. Automorphismus bekommst du dann geschenkt, weil die Abbildung immer bijektiv ist.


Deine Argumentation bei a) passt leider nicht, warum sollte deine konstruierte Abbildung ein Homomorphismus sein? Betrachte lieber einmal nur die inneren Automorphismen
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

(a) Da hab ich wohl nur eine Bijektion gebaut. Also noch mal neu. Was sind denn die inneren Automorphismen? Alle bijektiven Endomorphismen , für die es ein gibt so dass mit



gilt

?

(c) Also muss ich in S3 scheitern, weil dort kein Homomorphismus ist? (Ich suche dann das GBsp.)
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, innere Automorphismen sind Konjugationen mit einem Element. Es muss jetzt immer gelten wegen der Voraussetzung. Folgere daraus dann abelsch.

Ich verstehe nicht was du mit scheitern meinst, du hast es doch bewiesen? verwirrt
ist doch nach Voraussetzung ein Homomorphismus
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

(a) ok

(c) Die S3 ist aber nicht abelsch. Da finde ich Elemente, so dass meine Kette



nicht stimmt. Die Frage ist, warum.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, *klick* du meinst du symmetrische Gruppe *g*

Weil die nicht abelsch ist, kann kein Automorphismus sein, denn nach Aufgabe c) ist dann abelsch. Widerspruch
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

(a) Also andere Richtung. Gleich eine Frage: Die inneren Automorphismen sind ein Normalteiler von Aut(G). Warum nennt man die denn "innerer"? Hast du da eine Eselsbrücke?

Wenn nun gilt , dann gibt auch nur den trivialen inneren Automorphismus

,

dabei ist a beliebig aus G. (Es gilt also für alle a aus G). Dann gilt für x,y aus G beliebig:



(c) Nur das wollte ich dann mit einem Beispiel aus der S3 nachvollziehen. Mal konkret. Big Laugh http://de.wikipedia.org/wiki/S3_%28Gruppe%29



kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Jo passt
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Danke.
tronaut Auf diesen Beitrag antworten »

Hätte man Aufgabe a) auch lösen können, ohne von der Existenz der inneren Automorphismengruppe zu wissen? Sie wurde in dem Buch bis zu dieser Stelle nicht erwähnt.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Man muss die Terminologie nicht kennen, um zu argumentieren, dass aus der nichtkommatitivität der Gruppe folgt, dass es mindestens einen nichttrivialen Konjugationsautomorphismus gibt.
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