Untersuchung von Konvergenz

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alex2007 Auf diesen Beitrag antworten »
Untersuchung von Konvergenz
Meine Frage:
Folgende Aufgabe, muss ich als Hausaufgabe lösen:

Untersuchen sie ob die Folge konvergent ist und berechnen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

Meine Ideen:
Erstmal sollte man sich überlegen, was der Binomialkoeffizient überhaupt bedeutet:






So, wenn ich mir jetzt den Tem anschaue, dann ist mir erstmal klar, dass wenn ich n gegen unendlich laufen lasse, der Zähler viel schneller wächst, als es der nenner tut. Demzufolge geht die Folge meines erachtens gegen unendlich und ist somit nicht konvergent alle n in den natürlichen Zahlen.

Jetzt muss ich das ganze quasi formal zeigen, via Konvergenzkriterien.

Man sieht leicht, dass die Folge monoton wachsend ist. Demzufolge würde ich hier versuchen zu zeigen, dass die folge NICHT nach oben beschränkt ist. Damit wäre das Konvergenzkriterium monoton wachsend und nach oben beschränkt nicht erfüllt und somit konvergiert die Folge nicht.

Wenn Folge monoton wachsend, dann gilt:



Prüfung ob monoton wachsend:













Folge ist moton wachsend, wenn für alle gilt:

(*)

Bedingungen:

(1):, wahre Aussage für alle

(2):
, wahre Aussage für alle

aus (1) und (2) folgt (*) ist monoton wachsend!

Jetzt wäre zu Prüfen ob eine obere Schranke S existiert.

Wenn eine obere schranke S existieren soll, muss gelten:



Prüfung ob nach oben beschränkt:



So und hier komme ich nicht weiter, wie ich jetzt nach n auflöse. Ist das bis hierhin erstmal alles so richtig? wie muss ich fortfahren?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untersuchung von Konvergenz
Zum Teil die richtigen Ansätze, aber insgesamt zu kompliziert. Eigentlich müßtest du an dieser Stelle
Zitat:
Original von alex2007


zu der Erkenntnis kommen, daß anscheinend ist.

Und in der Tat läßt sich das mit vollständiger Induktion in 2 Zeilen zeigen.
alex2007 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untersuchung von Konvergenz
Ja an Induktion dachte ich auch. Aber ist der Beweis der Monotonie denn nicht auch so möglich, wie ich es gemacht habe? Letztlich bin ich ja auf triviale Dinge gekommen, die für alle n gelten, womit die Behauptung gezeigt wäre. oder?

Was kannst du mir als Tip für den Beweis der Beschränktheit geben? Weis nicht, wie ich fortfahren soll. muss ja eigentlich auf die Form:

kommen. Dann wäre klar, dass keine obere Schranke existiert. Oder?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untersuchung von Konvergenz
Ehrlich gesagt habe ich keine Lust, mich mit deiner komplizierten Rechnung zu beschäftigen. Der Beweis der Monotonie ist auch völlig unnötig. Es gilt die von mir angegebene Ungleichung und damit ist die Sache erledigt.
alex2007 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untersuchung von Konvergenz
Also reicht es aus, dass ich mit vollständiger Induktion zeige, dass gilt?

gut, dann habe ich gezeigt dass sie monoton wachsend ist und nicht beschränkt, da nicht beschränkt ist. müsste ich das auch noch zeigen?
alex2007 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untersuchung von Konvergenz
es darf sich auch gern wer anderes dau äußern. wäre sehr hilfreich.
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untersuchung von Konvergenz
Zitat:
Original von alex2007
gut, dann habe ich gezeigt dass sie monoton wachsend ist und nicht beschränkt, da nicht beschränkt ist. müsste ich das auch noch zeigen?

Ich wiederhole mich, wenn ich sage, daß der Nachweis der Monotonie unnötig ist. Und daß unbeschränkt ist, sollte allgemein akzeptiert sein.
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