Verteilung von Summe

26.11.2010, 11:38

Max Simon

Verteilung von Summe

Hallo,

Ich habe folgendes Problem:

Gegeben sind $\begin{eqnarray*} t_1, ..., t_n\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} X_1, ..., X_n \end{eqnarray*}$ unabhängig und standard-normalverteilte Zufallsvariablen und $\begin{eqnarray*} \alpha>0 \end{eqnarray*}$ .

Sei nun $\begin{eqnarray*} Y:=\frac{\sum_{i=1}^n t_i X_i}{\sum_{i=1}^n t_i^2}+\alpha \end{eqnarray*}$ .

Gesucht ist die Verteilung von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ .

Mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} F_Y(y)=\mathbb P(Y\leq y)=\mathbb P(\frac{\sum_{i=1}^n t_i X_i}{\sum_{i=1}^n t_i^2}+\alpha\leq y)=\mathbb P(\sum_{i=1}^n t_i X_i\leq (y-\alpha)\sum_{i=1}^n t_i^2)=\mathbb P(Z\leq z)=F_Z(z) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} Z:=\sum_{i=1}^n t_i X_i,\ z:=(y-\alpha)\sum_{i=1}^n t_i^2 \end{eqnarray*}$ .

Doch wie bestimme ich $\begin{eqnarray*} F_Z(z) \end{eqnarray*}$ ?
Ich kenne die Verteilung der $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ . Damit kenne ich auch die Verteilung von $\begin{eqnarray*} t_i X_i \end{eqnarray*}$ .
Aber die Verteilung der Summe kenne ich nicht.
Gibt es da so eine Art Faltung für endlich viele Summanden?

Oder muss ich ganz anders rangehen?

Danke.
LG Max

26.11.2010, 13:17

René Gruber

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Zitat:

Original von Max Simon
Sei nun $\begin{eqnarray*} Y:=\frac{\sum_{i=1}^n t_i X_i}{\sum_{i=1}^n t_i^2}+\alpha \end{eqnarray*}$ .

Anders geschrieben: Es ist

$\begin{eqnarray*} Y= \alpha + \sum_{i=1}^n a_i X_i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_i = \frac{t_i}{\sum_{j=1}^n t_j^2} \end{eqnarray*}$

Das ist eine ganz normale Linearkombination unabhängiger normalverteilter Zufallsgrößen (zuzüglich der Verschiebung $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ), die ist wieder normalverteilt, und zwar gemäß

$\begin{eqnarray*} \mathcal{N}\left(\alpha + \sum_{i=1}^n a_i\mu_i, \sum_{i=1}^n a_i^2\sigma_i^2 \right) \end{eqnarray*}$ .

Nun ist bei dir $\begin{eqnarray*} \mu_i=0,\sigma_i=1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i=1,\ldots,n \end{eqnarray*}$ , also ergibt sich...

26.11.2010, 16:56

Max Simon

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Dann wäre $\begin{eqnarray*} Y\sim\mathcal{N}(\alpha,\tfrac{1}{\sum_{i=1}^n t_i^2}) \end{eqnarray*}$ .

Ich hab nicht bedacht, was für Linearkombinationen unabhängiger normalverteilter Zufallsvariablen gilt. Das hatten wir nicht speziell in dieser Vorlesung, aber es ist eigentlich bekannt.

Danke.

26.11.2010, 17:19

René Gruber

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Ja, das ist die Verteilung.

Zitat:

Original von Max Simon
Ich hab nicht bedacht, was für Linearkombinationen unabhängiger normalverteilter Zufallsvariablen gilt. Das hatten wir nicht speziell in dieser Vorlesung

Wirklich nicht? Vielleicht doch im Zusammenhang mit der Mehrdimensionalen Normalverteilung ? verwirrt

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