Randverteilung bestimmen

26.11.2010, 13:41	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Randverteilung bestimmen Aloha, da meine Klausur in greifbare Nähe rückt, rechne ich zur Zeit einige Übungsaufgaben zur Stochastik durch, ich habe eine Frage zur Bestimmung der Randverteilung. Für $\begin{eqnarray} p\in (0,1) \end{eqnarray}$ sei die Funktion $\begin{eqnarray} f:\mathbb N_0 \times \mathbb N_0 \rightarrow [0,1] \end{eqnarray}$ definiert durch $\begin{eqnarray} f(x,y)=\begin{cases} \binom 2y (1-p)^3 \left(\frac p{1-p}\right) ^{x+y} & (x,y)\in S:=\{0,1\}\times \{0,1,2\} \\ 0 & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} (X,Y) \end{eqnarray}$ in Zufallsvektor auf einem Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray} (\Omega,\mathfrak A, P) \end{eqnarray}$ , dessen Verteilung $\begin{eqnarray} P^{(X,Y)} \end{eqnarray}$ durch die obige Zähldichte gegeben ist. Ermitteln sie die Randverteilungen $\begin{eqnarray} P^X,P^Y \end{eqnarray}$ durch Angabe der entsprechenden Zähldichen. Ich habe bereits gezeigt, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ eine Zähldichte auf $\begin{eqnarray} \mathbb N_0\times\mathbb N_0 \end{eqnarray}$ ist, bin mir aber nicht sicher, ob ich die Randverteilungen korrekt bestimmt habe. Für $\begin{eqnarray} P^X \end{eqnarray}$ habe ich $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=0}^2 P(X=0,Y=i)=\sum\limits_{i=0}^2 \binom 2i (1-p)^3 \left(\frac p{1-p}\right)^{0+i} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=0}^2 P(X=1, Y=i) \end{eqnarray}$ bestimmt, $\begin{eqnarray} P^Y \end{eqnarray}$ dann analog. Ich hätte dann $\begin{eqnarray} P^X(k)=\begin{cases} (1-p)^3\cdot (1+2\frac p{1-p}+\left(\frac p{1-p}\right)^2) & k=0 \\ (1-p)^3\cdot (\frac p {1-p}+2\left(\frac p{1-p}\right)^2 +\left(\frac p{1-p}\right)^3) & k=1 \\ 0 & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray}$ für die Randverteilung von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ als Ergebnis. Ist das wirklich alles was hier zu machen ist?
26.11.2010, 14:06	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Grunde genommen schon - allerdings sollte man schon noch die Vereinfachungen vornehmen, nach denen diese Ausdrücke lauthals schreien.
26.11.2010, 14:08	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, vereinfacht hab ich jetzt erstmal nicht, es ging mir erstmal nur um das reine Vorgehen. Dann hab ich mir die Randverteilung davor viel komplizierter vorgestellt als sie eigentlich ist, danke.

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