lineare abbildung, kern bild, surjektiv...

26.11.2010, 15:02

captainjack

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lineare abbildung, kern bild, surjektiv...

Also ich habe die letzte Vorlesung verpasst und kann daher mit folgender Aufgabenstellung wenig anfangen und bitte um hilfe und Tipps:

Gegeben sei $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix}1&-1&1&1 \\ -2&-1&-4&-1 \\ 1&5&5&-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Betrachtet wird die Abbildung $\begin{eqnarray*} \phi_{A} : \mathbb R ^4 --> \mathbb R ^3, x --> Ax \end{eqnarray*}$ .
Ist die Abbildung injektiv, surjektiv? Und man soll ggf. eine Basis des Kerns , des Bilds von der Abbildung bestimmen.

Immerhin weiß ich dass es sich um eine lineare Abbildung handelt.
Ich weiß aber nicht was der Kern oder das Bild von Phi ist.....
I need Help Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.11.2010, 15:06

Iorek

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In dem Fall empfehle ich einen Blick ins Skript, dort sollten die Definitionen zu Kern und Bild drin stehen. Auch andere Quellen (Lehrbücher, Wikipedia) geben Aufschluss darüber.
[Artikel] Basis, Bild und Kern

26.11.2010, 15:24

captainjack

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hmmm....ok also für die Injektivität müsste ein Monomorphismus vorliegen und für die Surjektivität ein Epimorphismus......im ersten Fall müssten die Spaltenvektoren meienr Darstellungsmatrix linear unabhängig sein und im zweiten Fall müssten die Spaltenvektoren ein Erzeugendensystem vom dreidimensionalen R bilden oder der Spaltenraum wäre so groß......Ist das soweit richtig und was ist meine Darstellungsmatrix?

26.11.2010, 15:27

Iorek

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Deine Darstellungsmatrix ist in deiner Aufgabe die Matrix A. smile

smile

Für die Injektivität würde ich dir empfehlen, den Kern zu bestimmen (was du später auch noch machen müsstest), dieser liefert dir eine Aussage für die Injektivität.

26.11.2010, 16:38

captainjack

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also ich habe jetzt folgende Matrixumformungen durchgeführt:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&-1&1&1 \\ 0&1&-2&1 \\ 0&6&4&-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
zu $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&-1&1&1 \\ 0&1&-2&1 \\ 0&0&16&-8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ aber ist A*x überhaupt möglich wegen 4 Spalten auf 3 Variable??
Wie gehe ich weiter vor?

26.11.2010, 17:02

Iorek

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Von welchem Raum in welchen Raum wird denn abgebildet? Ist die Matrixmultiplikation damit möglich?

Führe den Gaußalgorithmus zu Ende, dann kannst du direkt den Kern ablesen und etwas über die Injektivität sagen.

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26.11.2010, 17:04

captainjack

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hmmm.....der Spaltenvektor x würde von x_1 bis x_4 gehen ist mir gerade so aufgefallen heißt ich könnte tatsächlich Gleichungen daraus ablesen......allerdings stellt sich bei mir heraus dass ein x von einem anderen abhängt....heisst das sie sind abhängig und ich muss nur 2 Spalten als Basis für den Kern nehmen?

26.11.2010, 17:06

Iorek

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Wo hast du ein x stehen? Führe den begonnenen Gaußalgorithmus doch erstmal zu Ende, bis die Matrix in Zeilenstufenform da steht, dann können wir eine Aussage über den Kern machen.

26.11.2010, 17:25

captainjack

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&-1&1&1 \\ 0&1&-2&1 \\ 0&0&2&-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ kann noch zu $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&-1&1&1 \\ 0&1&-2&1 \\ 0&1&0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ werden und dann?

26.11.2010, 17:27

Iorek

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Du kannst in der zweiten Spalte noch ausräumen.

Danach musst du einen Parameter einfügen um auf strikte Zeilenstufenform zu kommen.

Ich bin gleich bis ~19.30 abwesend, wenn sich einer berufen fühlt, möge er gerne übernehmen.

26.11.2010, 17:59

captainjack

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meine Matrix ist schlicht und einfach falsch richtig ist diese Form: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&-1&1&1 \\ 0&-3&-2&1 \\ 0&0&0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie mache ich nun weiter ? man soll für eine Basis wahrscheinlich eine Variable frei wählen aber wie mache ich das und wie wirkt sich das uf meine Basis dann als Koordinate aus?

26.11.2010, 19:41

captainjack

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und dies ist doch der richtige Weg zur Bestimmung der Basis des Kerns......und wenn der Kern linear unabhängig ist ist die Abbildung injektiv?

26.11.2010, 20:37

Iorek

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Ja, das ist soweit der richtige Weg zur Kernbestimmung, wobei wir eigentlich die erweiterte Koeffizientenmatrix des LGS betrachten würden; da die letzte Spalte bisher aber ausschließlich aus 0en besteht, müssen wir die bis zu diesem Schritt noch nicht mitschleppen.

Wenn wir deine Matrix jetzt noch auf Zeilenstufenform bringen und die Nullzeilen streichen, dann hätten wir: $\begin{eqnarray*} \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & \frac 53 & \frac 23 & 0 \\ 0 & 1 & \frac 23 & -\frac 13 & 0 \end{array} \right) \end{eqnarray*}$

Füge jetzt zwei Parameter ein, um die Matrix endgültig auf strikte Zeilenstufenform zu bekommen.

27.11.2010, 15:36

captainjack

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Ja aber genau da ist auch eine kleine Wissenlücke vorhanden....wie mache ich das mit dem Parameter bei der linearen Unabhängigkeit bei einer Matrix?

27.11.2010, 15:42

Iorek

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Wie würdest du es denn bei einem Gleichungssystem machen?

Das funktioniert hier ähnlich, ich geb dir mal den ersten Parameter vor:

$\begin{eqnarray*} \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & \frac 53 & \frac 23 & 0 \\ 0 & 1 & \frac 23 & -\frac 13 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & a \end{array} \right) \end{eqnarray*}$ , damit können wir jetzt die dritte Spalte ausräumen, das selbe danach noch für die vierte Spalte.

27.11.2010, 16:05

captainjack

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&0&0&0 &-\frac{5}{3}a-\frac{2}{3}b \\ 0&1&0&0&-\frac{2}{3}a +\frac{1}{3}b\\ 0&0&1&0&a\\0&0&0&1&b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ müsste die dritte Spalte ausgeräumt sein.......und einschließlich des neuen Parameters und dann?

27.11.2010, 16:08

Iorek

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Das kann ich nur bestätigen. Freude

Freude

Jetzt können wir eine Basis des Kerns bestimmen und direkt sagen, ob die Abbildung injektiv ist oder nicht.

27.11.2010, 16:19

captainjack

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Hmmm......ist meine Basis: B = (-5/3 , -2/3 , 1, 0) und (-2/3 , 1/3, 0 ,1) ?

27.11.2010, 16:20

Iorek

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Ja, das wäre eine Basis des Kerns.

27.11.2010, 16:31

captainjack

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Indem ich meine Matrix für den Kern auf die Zeilenstufenform gebracht habe hat sich ja eine Nullzeile gebildet..........das bedeutete ja dass die Vektoren der Matrix lienar abhängig waren.....oder laut Wiki.....ist der Kern nicht injektiv, da er nicht nur den Nullvektor enthält.......Ist somit die gesamte Abbildung auch injektiv.....und nochmal eine Frage zur Parameter Einführung in der Matrix.....Warum darf ich zu einer Matrix einfach Zeilen mit Parametern dazu tun?

27.11.2010, 16:35

Iorek

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Zitat:

Original von captainjack
ist der Kern nicht injektiv, da er nicht nur den Nullvektor enthält Ist somit die gesamte Abbildung auch injektiv

Da scheint dir ein kleines Wörtchen zu fehlen. Außerdem ist die Aussage vielmehr, dass der Kern nicht nur aus der 0 besteht, nicht dass er nicht injektiv ist.

Zitat:

Original von captainjack.....und nochmal eine Frage zur Parameter Einführung in der Matrix.....Warum darf ich zu einer Matrix einfach Zeilen mit Parametern dazu tun?

Wir interpretieren die Matrix als homogenes, lineares Gleichungssystem, daher ist das erlaubt. Zu deiner Darstellungsmatrix oder einer anderen Matrix die kein lineares Gleichungssystem darstellt, darfst du natürlich nicht einfach Zeilen mit Parameter einführen.

27.11.2010, 16:39

captainjack

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Ja also der Kern ist genau dann injektiv, wenn er nur den Nullvektor enthält....laut Wiki.....heisst doch dass die Basis nur aus dem Nullvektor besteht oder der Kern aus linear unabhängigen bereits eine Basis bildet?

27.11.2010, 16:42

Iorek

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Auf Wiki steht kein Wort über die Injektivität des Kerns, der Kern ist eine Menge.

Vielmehr gibt es einen Zusammenhang zwischen der Injektivität der Abbildung und dem Kern.

27.11.2010, 16:57

captainjack

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ja ok die abbildung f ist injektiv wenn der kern nur den nullvektor enthält.
das macht er bei mir nicht also ist die abbildung nicht injektiv oder?

27.11.2010, 16:59

Iorek

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Ganz genau. (Die Aussage dass eine lineare Abbildung genau dann injektiv wenn der Kern nur den Nullvektor enthält könntest du auch als Übung mal beweisen Augenzwinkern

Augenzwinkern

).

Damit hätten wir Kern und Injektivität abgehakt, wie sieht es jetzt mit dem Bild aus?

27.11.2010, 17:06

captainjack

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Ja mach ich vllt einmal....da steht im anschaulichen Workshop dass man die transponierte Matrix nimmt also in meinem Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&-2&1\\ -1&-1&5 \\ 1&-4&5\\1&-1&-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Zeilenstufenform: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&-2&1\\ 0&-3&6 \\ 0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
heißt doch das die Basis meines Bildes folgende wäre : (1,-2,1) , (0,-1,2)
Warum verwedne ich die transponierte Matrix?
und zur surjektivität muss die Basis des Bildes den kompletten R^3 erzeugen....macht es aber nicht da 0,0,1 zum Beispiel nicht erzuegt wird....ist das richtig?

27.11.2010, 17:10

Iorek

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Du kannst auch die Ausgangsmatrix nehmen und Spaltenumformung machen, aber normalerweise sind Zeilenumformungen gebräuchlicher. Die Spalten der Matrix bilden ein Erzeugendensystem des Bildes, wir machen da nur eine Basis draus, ob mit Zeilen- oder Spaltenumformungen ist eigentlich kein großer Unterschied.

Die Basis des Bildes kann ich auch bestätigen, Begründung für Surjektivität stimmt auch (hierfür hätte man auch den Rangsatz direkt nach der Bestimmung des Kerns verwenden können).

27.11.2010, 17:14

captainjack

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Damit wäre alles gelöst und ich sende ein Riesengroßes Dankeschön für die intensive Hilfe und Unterstützung an IOREK........Vielen Dank für die ganzen durchforstungen und anschaulichen Erläuterungen und ein Lob an Matheboard.....ohne dieses Forum verirren sich Erstsemstler doch durch die abschreckende Wirkung mancher Profs Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vielen Dank! Freude

Freude

27.11.2010, 17:15

Iorek

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Keine Ursache, wenn wieder ein Problem auftritt, kannst du dich gerne melden. smile

smile

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