Zeigen, dass z.B. das Erzeugnis aus <A n B> = <A> n <B> ist

26.11.2010, 15:43	Martin L	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen, dass z.B. das Erzeugnis aus <A n B> = <A> n <B> ist Moin Moin Ich habe hier wieder eine Aufgabe, wo ich nicht weiß, wie ich ran gehen soll, auch wenn ich denke, die Lösung schon gefunden zu haben. Es geht um folgendes: Sei K ein Körper und V ein Vektorraum über K. Beweise oder widerlege jeweils: Fur beliebige Teilmengen $\begin{eqnarray} A,B \in V \end{eqnarray}$ gilt stets: $\begin{eqnarray} <A \cap B> \subseteq <A> \cap <B> \end{eqnarray}$ Ich hab jetzt die grobe Idee, das wie bei Mengen zu machen, also wenn man zeigen soll, dass eine Menge Teilmenge einer anderen Menge ist, nimmt man ja ein Element der einen Menge und zeigt, dass sie in der anderen enthalten ist. Ich vermute mal, hier muss man es ähnlich machen. Die Definition für ein Erzeugnis ist ja: $\begin{eqnarray} \{v \in V : v = \sum\limits_{k=1}^n \lambda_iv_i , \ \ \lambda \in K,\ \ v_i \in Erzeugender \ Vektorraum \subseteq V\} \end{eqnarray}$ Dann müsste ich doch zeigen, dass ein v, für welches gilt: $\begin{eqnarray} v = \sum\limits_{k=1}^n \lambda_iv_i , \ \ \lambda \in K,\ \ v_i \in A \cap B \end{eqnarray}$ auch gilt: $\begin{eqnarray} v = \sum\limits_{k=1}^n \lambda_iv_i , \ \ \lambda \in K,\ \ v_i \in A \ \ und \ \ v = \sum\limits_{k=1}^n \lambda_iv_i , \ \ \lambda \in K,\ \ v_i \in B \end{eqnarray}$ Aber irgendwie bin ich mir beim zweiten schon nicht mehr sicher, ob das so richtig ist. Außerdem weiß ich, falls es richtig ist, überhaupt nicht wie ich das jetzt zeigen soll. Ich hoffe ihr könnt mir da ein paar Erleuchtende Tipps geben. Gruß Martin
26.11.2010, 17:05	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen, dass z.B. das Erzeugnis aus <A n B> = <A> n <B> ist Du bist wahrscheinlich deshalb verwirrt, weil du, wenn ich das richtig sehe, im Grunde fertig bist. Es fehlt nur noch ein "also gilt insbesondere auch...". Du brauchst im Grunde tatsächlich nur aufschreiben, was du hast und dann hinzuschreiben, was du möchtest. Gruß MI
26.11.2010, 20:03	Martin L	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja aber muss ich denn nicht dazwischen noch ein paar Schritte einfügen? Ich mein so hab ich ja einfach die Aufgabe umformuliert indem ich die linke und die rechte Seite einfach mal äquivalent anders hingeschrieben hab. Dadurch hab ich ja noch nichts gezeigt. Das könnte ich ja auch machen, wenn das gar nicht stimmt. Irgendwie muss man doch die eine Seite so umformen können, dass man am Ende die andere Seite da stehen hat. Oder seh ich da was falsch? ;-) Grüße Martin
27.11.2010, 00:15	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen, dass z.B. das Erzeugnis aus <A n B> = <A> n <B> ist $\begin{eqnarray} v = \sum\limits_{k=1}^n \lambda_iv_i , \ \ \lambda \in K,\ \ v_i \in A \cap B \end{eqnarray}$ So, das gilt doch. Weil die $\begin{eqnarray} v_i\in A\cap B \end{eqnarray}$ gilt doch insbesondere auch $\begin{eqnarray} v_i\in A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_i \in B \end{eqnarray}$ (Eigenschaft des Schnitts). Aber da steht das Ergebnis schon da, denn mit derselben Wahl der $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_i \end{eqnarray}$ (möglich, weil ja die $\begin{eqnarray} v_i \end{eqnarray}$ jeweils auch in den Unterräumen A bzw. B sind) erhälst du doch sofort für v: $\begin{eqnarray} v = \sum\limits_{k=1}^n \lambda_iv_i , \ \ \lambda \in K,\ \ v_i \in A \ \ und \ \ v = \sum\limits_{k=1}^n \lambda_iv_i , \ \ \lambda \in K,\ \ v_i \in B \end{eqnarray*}$ Gruß MI
27.11.2010, 17:36	Martin L	Auf diesen Beitrag antworten »
Joa stimmt das geht wirklich so schnell :-D. Mal gucken ob die Aufgaben b bis d noch schwerer werden. Ich hatte einfach mit etwas schwererem gerechnet ;-). Gruß Martin
29.11.2010, 16:39	Nachfrager	Auf diesen Beitrag antworten »
Gegenrichtung Hallo! Ich hätte da auch noch eine Frage zu: Wenn ich die Gegenrichtung beweisen will, also: <A>\cap <B> \subseteq <A\cap B> Dann kann ich das ganze doch einfach nochmal andersrum aufschreiben, oder? Ich bedanke mich schonmal.
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29.11.2010, 16:46	Nachfrager	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gegenrichtung Hallo! Ja, da hatte ich wohl "latex" vergessen... also nochmal: Ich hätte da auch noch eine Frage zu: Wenn ich die Gegenrichtung beweisen will, also: $\begin{eqnarray} <A>\cap <B> \subseteq <A\cap B> \end{eqnarray}$ Dann kann ich das ganze doch einfach nochmal andersrum aufschreiben, oder? Ich bedanke mich schonmal. Also ich ergänze, das wäre dann: $\begin{eqnarray} v = \sum\limits_{k=1}^n \lambda_iv_i , \ \ \lambda \in K,\ \ v_i \in A \ \ und \ \ v = \sum\limits_{k=1}^n \lambda_iv_i , \ \ \lambda \in K,\ \ v_i \in B \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} v_i\in A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_i \in B \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} v_i\in A\cap B \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} v = \sum\limits_{k=1}^n \lambda_iv_i , \ \ \lambda \in K,\ \ v_i \in A \cap B \end{eqnarray*}$ Oder denke ich da falsch- das kommt mir immer recht komisch vor - und ich frage mich, wann das mit der Gegenrichtung dann mal nicht passt- merke ich das dann? (Oder passt es vielleicht sogar hier gar nicht und ich mache was falsch?)
30.11.2010, 21:10	Martin L	Auf diesen Beitrag antworten »
mhh jetzt steh ich vor einem weiteren Problem: ich habe jetzt $\begin{eqnarray} <<A> \cap <B>> = <A> \cap <B> \end{eqnarray}$ Jetzt hab ich mir gedacht, ich mach das wie oben. $\begin{eqnarray} v = \sum\limits_{i=1}^n v_i\lambda_i, \lambda_i \in K, v_i \in <A> \cap <B> \end{eqnarray*}$ Stimmt das soweit? Oder hab ich da was falsch verstanden? Dann müsste ich ja nur noch zeigen, dass wenn v_i im erzeugnis aus A geschnitten B ist, dass dann auch v erzeugt werden kann aus dem Erzeugnis von A geschnitten B. Irgendwie muss ich das glaub ich noch ein paar mal machen bis ich das wirklich drauf hab :-( Gruß Martin

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