Ableitungsprobleme

26.11.2010, 16:01

Thomas00

Ableitungsprobleme

Hallo miteinander!

Ich habe 2, 3 Fragen bzgl. dem Ableiten und der Differenzierbarkeit.
1.)
Sei $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2(1+x^2)^2 \end{eqnarray*}$
Hier dachte ich eigentlich, dass man nach dem "Schema" (f*g)' = (f'g + fg') vorgehen müsste.
Das wäre dann also: $\begin{eqnarray*} f'(x) = 2x(1+x^2)^2 + x^2(2(1+x^2)) \end{eqnarray*}$ , was aber falsch ist.
Deshalb meine Frage: Wo liegt mein Denkfehler?

2.)
Zu meinem zweiten Problem:
$\begin{eqnarray*} g(x) = \sqrt{x \sqrt{x}} \end{eqnarray*}$
Das ist ja gleich: $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^{\frac{3}{2}}} = (x^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$
Wie man nun aber diese beiden Exponenten behandeln muss, um g'(x) zu erhalten, hab' ich noch nicht raus gekriegt...

3.)
h(x) sei gegeben durch $\begin{eqnarray*} x sin \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ , falls x NICHT 0 ist,
und h(x) = 0, falls x = 0.
Um zu zeigen, dass h(x) in 0 NICHT differenzierbar ist, habe ich den linken wie auch den rechten Grenzwert berechnet, und gesehen, dass LG > 0, RG < 0 ist. Daraus würde also folgern, dass h(x) in 0 nicht diff'bar ist. Wäre das korrekt?
Da eben h(x) = 0 für x=0 explizit angegeben wurde, macht mich das etwas stutzig. ..so kam ich auf die Idee, mit der Stetigkeit zu argumentieren. Nun bin ich aber nicht sicher, welches Argument hier wiklich "zählt".

Für jegliche Hilfe bin ich sehr dankbar!
Liebe Grüsse,
Thomi

26.11.2010, 16:05

Black

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RE: Ableitungsprobleme

Zitat:

Original von Thomas00
Hallo miteinander!

Ich habe 2, 3 Fragen bzgl. dem Ableiten und der Differenzierbarkeit.
1.)
Sei $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2(1+x^2)^2 \end{eqnarray*}$
Hier dachte ich eigentlich, dass man nach dem "Schema" (f*g)' = (f'g + fg') vorgehen müsste.
Das wäre dann also: $\begin{eqnarray*} f'(x) = 2x(1+x^2)^2 + x^2(2(1+x^2)) \end{eqnarray*}$ , was aber falsch ist.
Deshalb meine Frage: Wo liegt mein Denkfehler?

Innere Ableitung von $\begin{eqnarray*} (1+x^2)^2 \end{eqnarray*}$ vergessen.

Zitat:

Original von Thomas00
2.)
Zu meinem zweiten Problem:
$\begin{eqnarray*} g(x) = \sqrt{x \sqrt{x}} \end{eqnarray*}$
Das ist ja gleich: $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^{\frac{3}{2}}} = (x^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$
Wie man nun aber diese beiden Exponenten behandeln muss, um g'(x) zu erhalten, hab' ich noch nicht raus gekriegt...

Nun was ist denn $\begin{eqnarray*} \frac {3}{2} \cdot \frac {1}{2} \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von Thomas00

3.)
Um zu zeigen, dass h(x) in 0 NICHT differenzierbar ist, habe ich den linken wie auch den rechten Grenzwert berechnet, und gesehen, dass LG > 0, RG < 0 ist. Daraus würde also folgern, dass h(x) in 0 nicht diff'bar ist. Wäre das korrekt?

Wovon genau hast du den linken und rechten Grenzwert gebildet?

26.11.2010, 16:07

beah

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RE: Ableitungsprobleme
zu deiner 1. frage, du hast die innere ableitung von (1 + x^2) vergessen,

bei deiner 2. frage, multiplizierst du erst die potenzten miteinander und kannst dann ganz normal ableiten!

hilft dir das weiter??

26.11.2010, 16:29

Thomas00

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RE: Ableitungsprobleme
Dankeschön für die Antworten!

1.)
Wie / Wo fügt man die innere Ableitung noch hinzu?
Also sicher ist schon mal: $\begin{eqnarray*} f'(x) = 2x(1+x^2)^2 (+...) \end{eqnarray*}$

2.)
Das hat sich erledigt..haha, so kurz vor dem Ziel.. :P

3.)
LG: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^-} \frac{h(x)-0}{x-0} > 0 \end{eqnarray*}$
RG: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^+} \frac{h(x)-0}{x-0} < 0 \end{eqnarray*}$

Aber eben: Sollte man hier nicht evtl. mit der Stetigkeit argumentieren? (Oder ist das hier auch o.k.?)

26.11.2010, 16:36

Black

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RE: Ableitungsprobleme

Zitat:

Original von Thomas00

3.)
LG: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^-} \frac{h(x)-0}{x-0} > 0 \end{eqnarray*}$
RG: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^+} \frac{h(x)-0}{x-0} < 0 \end{eqnarray*}$

Aber eben: Sollte man hier nicht evtl. mit der Stetigkeit argumentieren? (Oder ist das hier auch o.k.?)

Du musst begründen, warum
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^-} \frac{h(x)-0}{x-0} \neq 0 \end{eqnarray*}$
und/oder
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^+} \frac{h(x)-0}{x-0} \neq 0 \end{eqnarray*}$

26.11.2010, 16:42

Thomas00

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RE: Ableitungsprobleme
Reicht es, wenn ich so argumentiere?
x selbst geht nur gegen 0 (wird selbst aber nicht 0), und da weder der Sinus noch das x vor dem Sinus 0 ergibt, sind die beiden Terme nicht 0.

Allerdings bin ich gerade in diesem Moment nicht mehr sicher..denn: x selbst kann doch 0 werden, oder? Der unterschied zwischen LG und RG ist nur, von welcher "Seite" angenähert wird..
Nicht?

26.11.2010, 16:51

Black

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RE: Ableitungsprobleme

Zitat:

Original von Thomas00
Reicht es, wenn ich so argumentiere?
x selbst geht nur gegen 0 (wird selbst aber nicht 0), und da weder der Sinus noch das x vor dem Sinus 0 ergibt, sind die beiden Terme nicht 0.

Nein das reicht nicht, und ist so auch falsch.
Wenn x gegen 0 geht, dann ist der Grenzwert von x gerade gleich 0, so ist der Grenzwert definiert, und alles andere würde auch keinen Sinn machen.

Was du behauptet hast wäre $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^+}x \neq 0 \end{eqnarray*}$

26.11.2010, 17:04

Thomas00

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RE: Ableitungsprobleme
Ok.
Das heisst, man muss zeigen, dass es ein L: D->IR existiert, so dass:
f(x)-f(x_0) = L(x)(x-x_0) = L(x_0)(x-x_0) + (L(x)-L(x_0))(x-x_0)

Oder?
Meine Frage nun: Wie sähen hierzu die ersten Schritte aus?

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