Aufgabe zu Potenzen/Logarithmen

26.11.2010, 16:09

artemis2010

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Aufgabe zu Potenzen/Logarithmen

Meine Frage:
Hi Leute,
ich sitze hier gerade an meiner Hausaufgabe und bin schier am Verzweifeln. Es geht um folgende Aufgabe:

[latex]5^{2x}-20 \cdot 5^x =125[\latex]

Ich habe jetzt ein bisschen hin- und hergerechnet, die 125 z.B. als Potenz von 5 dargestellt oder rechts ein [\latex]5^x[\latex] ausgeklammert und dann dadurch geteilt, bin am Ende aber immer an einer Stelle Log(a+b) gelandet und konnte das nicht mehr weiter vereinfachen.

Könnt ihr mir irgendwie weiterhelfen?

Meine Ideen:
125=5^3

26.11.2010, 16:11

artemis2010

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RE: Aufgabe zu Potenzen/Logarithmen
$\begin{eqnarray*} 5^{2x}-20 \cdot 5^x =125 \end{eqnarray*}$

26.11.2010, 16:15

Equester

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Am einfachsten ist es, du klammerst links die $\begin{eqnarray*} 5^x \end{eqnarray*}$ aus Big Laugh

Big Laugh

26.11.2010, 16:17

artemis2010

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oh, ja klar hab ich links die $\begin{eqnarray*} 5^x \end{eqnarray*}$ ausgeklammert. bringt mich aber nicht weiter leider

26.11.2010, 16:21

Equester

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? Echt nich Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dann sag mir doch mal was dann bei dir da steht smile

smile

26.11.2010, 16:25

artemis2010

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$\begin{eqnarray*} 5^x(5^x+20)=5^3 \end{eqnarray*}$

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26.11.2010, 16:28

artemis2010

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äh natürlich ein minus in der klammer

26.11.2010, 16:34

baphomet

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wie wäre es wenn du bei deiner Ausgangsgleichung logarithmierst, das sollte
alle Probleme lösen.

26.11.2010, 16:40

artemis2010

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also wenn ich den logarithmus anwende hab ich doch:

$\begin{eqnarray*} log_5 ((5^{2x}) - 20 \cdot 5^x) = log_5 (5^3) \end{eqnarray*}$ oder wird der Logarithmus links getrennt auf die Summanden angewendet?

26.11.2010, 16:42

baphomet

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Logarithmengesetzen anwenden.

$\begin{eqnarray*} \log(a^n)=n\cdot\log a<br /> <br /> \log(a\cdot b)=\log(a)+\log(b) \end{eqnarray*}$

Ja auf Summanden wird Logarithmus getrennt ausgeführt
Die zweite Regel wirst du auf der linken Seite deiner Gleichung benötigen beim
Subtrahenten.

26.11.2010, 16:49

artemis2010

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also wenn ich dann die gesetze anwende erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} log_5(5^{2x})-log_5(20 \cdot 5^x) = log_5(5^3) \\ <br /> \Rightarrow 2x - log_5(20)+x = 3 \end{eqnarray*}$

richtig?

26.11.2010, 16:52

baphomet

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Ein kliener Schnitzer

$\begin{eqnarray*} -\log_5(20 \cdot 5^x)<br /> <br /> -(\log_5(20)+\log_5 5^x)<br /> <br /> -\log_520-x \end{eqnarray*}$

Soweit völlig korrekt, nun die Gleichung nach x umstellen und die Gleichung lösen.

26.11.2010, 16:54

artemis2010

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also erstmal ist mir glaub ich ein fehler unterlaufen (wegen dem minus vor dem logarithmus müsste es nicht -x heißen statt +x)?

und aufgelöst bekomme ich irgendwas um 4,86 raus. aber eigentlich müsste doch x=2 rauskommen, oder?

26.11.2010, 16:55

baphomet

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Mit dem Vorzeichen hast du recht, ist mir auch gerade aufgefallen.

26.11.2010, 16:57

Equester

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Zitat:

Original von artemis2010

$\begin{eqnarray*} log_5 ((5^{2x}) - 20 \cdot 5^x) = log_5 (5^3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} log_5(5^{2x})-log_5(20 \cdot 5^x) = log_5(5^3) \end{eqnarray*}$

So lauten die Logarithmengesetze nicht!

26.11.2010, 16:59

artemis2010

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eben genau das was ja meine frage, ob der logarithmus getrennt auf die summanden angewendet wird oder nicht. offensichtlich ja nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

aber damit stehe ich wieder am anfang meiner probleme :/

26.11.2010, 17:10

baphomet

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Zitat:

Original von artemis2010
$\begin{eqnarray*} 5^x(5^x+20)=5^3 \end{eqnarray*}$

Das wird zu

$\begin{eqnarray*} 5^x+20=\frac{5^3}{5^x} \end{eqnarray*}$

26.11.2010, 17:16

artemis2010

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ja auch das hatte ich schon gemacht, danach auch $\begin{eqnarray*} -5^x \end{eqnarray*}$ . Nur dann hatte ich am Ende wieder das Problem, dass auf der rechten Seite eine Summe stand. Und dann war wieder das Problem von oben wegen den Logarithmusregeln für Summen (die es ja nicht gibt Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

26.11.2010, 17:27

Equester

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Wenn ich mich mal wieder einschalten darf Augenzwinkern

Augenzwinkern

Bringe alles auf die linke Seite. Dann kannst du faktorisieren:
$\begin{eqnarray*} (5^x-25) (5^x+5) = 0 \end{eqnarray*}$

Ein Produkt ist genau dann 0, wenn alles Faktoren 0 sind smile

smile

26.11.2010, 17:30

artemis2010

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hm, also den schritt "alles auf die linke seite bringen" hab ich gemacht. aber man dann auf die faktorisierte schreibweise kommt, ist mir ein rätsel. davon abgesehen, dass wir stofflich gerade den logarithmus machen, also gehe ich davon aus, dass es auch damit geht

26.11.2010, 17:39

Equester

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Den logarithmus kannst du ganz am Ende ziehen. Was aber unnötig ist, wie du
gleich sehen wirst Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nun. Zugegeben, andersrum (ausmultiplizieren) ist einfacher wie es zu faktorisieren.
Als Tipp. Die Konstanten ohne 5^x müssen ein Teiler von 125 sein.
Da gibt es nicht viel Auswahl Augenzwinkern

Augenzwinkern

5*5*5=5*25=125

Einer von beiden muss negativ sein -> -125
Das da noch 5^x stehen muss ist wohl einzusehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} (5^x?25)(5^x?5)=0 \end{eqnarray*}$

Hier stellt sich die Frage nach dem Vorzeichen: $\begin{eqnarray*} -20*5^x \end{eqnarray*}$ ist verlangt.
Das spricht für
$\begin{eqnarray*} (5^x-25)(5^x+5)=0 \end{eqnarray*}$

Jetzt nur noch lösen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Geht auch ohne extra zu logarithmieren smile

smile

Alles klar?

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