Grenzwert x->0 mit cot(x) und Wurzel

26.11.2010, 16:51

Ibrakadabra

Grenzwert x->0 mit cot(x) und Wurzel

Hallo ich hatte jetzt eine Aufgabe bei der ich absolut nicht weiter komme. Bin jetzt soweit, dass ich nur noch den linksseitigen bzw den rechtsseitigen Grenzwert berechnen muss. Nur habe absolut keine Ahnung wie ich bei dieser Funktion damit beginnen soll bzw wie ich sie umformen soll. Ich hoffe ihr könnt mir gute Lösungsansätze geben.. Suche schon seit zwei Tagen nach der Lösung

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} 2*cot(x)*\sqrt{1- cos(x)} \end{eqnarray*}$

PS:
Wolfram-Alpha sagt mir einen Grenzwert von $\begin{eqnarray*} - \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Brauche dringend Hilfe..

26.11.2010, 17:36

René Gruber

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Zitat:

Original von Ibrakadabra
Wolfram-Alpha sagt mir einen Grenzwert von $\begin{eqnarray*} - \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Es gibt hier keinen Grenzwert, wohl aber einen links- und einen rechtsseitigen Grenzwert an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ , das will Wolfram damit sagen. Augenzwinkern

Zur Lösung: Mit dem trigonometrischen Pythagoras folgt zumindest für alle $\begin{eqnarray*} -\pi < x < \pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1-\cos(x)} = \sqrt{\frac{(1-\cos(x))(1+\cos(x))}{1+\cos(x)}} = \sqrt{\frac{1-\cos^2(x)}{1+\cos(x)}} = \sqrt{\frac{\sin^2(x)}{1+\cos(x)}} = \frac{|\sin(x)|}{\sqrt{1+\cos(x)}} \end{eqnarray*}$ ,

damit sollte es erstmal weitergehen.

26.11.2010, 18:48

Ibrakadabra

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sorry dass mit linkseitig und rechtseitige Grrenzwert meinte ich eigentlich auch. Hab mich wohl etwas umständlich ausgedrückt.
Die Idee mit dem Erweitern und Ersetzen hatte ich auch schon nur kam ich da an der Stelle auch nicht weiter, deswegen hatte ich die Idee wieder verworfen.
Das wäre ja dann:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} 2*cos(x)/\sin(x) *| sin(x) |/\sqrt{1+cos(x)}= 2*| 1 | *cos(x)/\sqrt{1+cos(x)} = 2*| 1 |*1/\sqrt{2} = | 2 | /\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Und laut Wolfram Alpha ist das ja falsch. So hätte ich ja einen linksseitigen Grenzwert von $\begin{eqnarray*} -2/\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und einen rechtsseitigen von $\begin{eqnarray*} 2/\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Wo liegt mein Fehler?

mfg
Ibrakadabra

26.11.2010, 18:52

Huy

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$\begin{eqnarray*} \frac{-2}{\sqrt{2}} = \frac{-2 \sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$ ....................

MfG

26.11.2010, 18:52

René Gruber

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Wenn man $\begin{eqnarray*} \frac{|\sin(x)|}{\sin(x)} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} |1| \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ersetzt, muss man sich nicht wundern: Für Werte "links der Null", also konkret $\begin{eqnarray*} -\pi < x < 0 \end{eqnarray*}$ ist das nämlich falsch, da kommt wegen $\begin{eqnarray*} \sin(x)<0 \end{eqnarray*}$ da als Quotient $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ heraus. Forum Kloppe

26.11.2010, 18:59

Ibrakadabra

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oh vielen Dank euch allen! Weihanchtsmarkt und mathe verträgt sich wohl nicht. Hatte am ende nen kleinen denkfehler!
Also Thema hat sich geklärt=)

26.11.2010, 19:04

René Gruber

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Und deine Schreibweise mit dem |1| oder |2|, worunter du je nach x einmal +1 oder -1 bzw. +2 oder -2 verstehst, solltest du allenfalls für den persönlichen Gebrauch verwenden, was ich aber auch nicht empfehle:

Das hat nämlich mit der wirklichen Bedeutung des Betragszeichens nichts zu tun. unglücklich

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