Laplace-Verteilung keine Exponentialfamilie

26.11.2010, 18:00	Max Simon	Auf diesen Beitrag antworten »
Laplace-Verteilung keine Exponentialfamilie Und schon wieder eine Frage: Diesaml soll ich zeigen, dass die Klasse der Laplace-Verteilungen keine Exponentialfamilie ist. Wenn es eine Exponentialfamilie wäre, müsste die Dichte folgendermaßen darstellbar sein: $\begin{eqnarray} \forall \theta\in\mathbb R:\ f_\theta(x)=\frac{1}{2}exp[-\|x-\theta\|]\overset{!}{=}c(\theta)h(x)exp[q(\theta)T(x)] \end{eqnarray}$ . Dies ist augenscheinlich nicht möglich, denn man kann den Betrag nicht als Produkt zweier Funktionen darstellen. $\begin{eqnarray} \nexists A,B: \mathbb R\to\mathbb R\ \forall x,y\in\mathbb R:\ \|x-y\|=A(x)B(y) \end{eqnarray}$ . Doch irgendwie ist das kein Beweis in meinen Augen. Und andere Ideen fehlen mir. Mit dem Träger von $\begin{eqnarray} f_\theta \end{eqnarray}$ , der nicht von $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ abhängen darf, lässt sich hier ja auch nicht argumentieren. Was kann ich sonst tun? Hilft mir irgendwie, dass die Dichte an der Stelle $\begin{eqnarray} x=\theta \end{eqnarray}$ nicht differenzierbar ist?

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