Reihensumme finden...

26.11.2010, 18:54

kurtk

Reihensumme finden...

Meine Frage:
Gegeben ist die Reihe: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n+8}{n(n+1)(n+4)} \end{eqnarray*}$
Man soll zeigen, dass sie konvergiert und die Summe der Reihe bestimmen
(Tipp:Partialbruchzerlegung $\begin{eqnarray*} \frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}+\frac{C}{n+4} \end{eqnarray*}$ )

Meine Ideen:
Mit Partialbruchzerlegung bin ich soweit gut klargekommen und weiß, dass die Reihe konvergiert (da die einzelnen Folgenglieder gegen 0 konvergieren)

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}+\frac{C}{n+4} \end{eqnarray*}$ ... dann hab ich das dastehen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2}{n}-\frac{7}{3(n+1)}+\frac{1}{3(n+4)} \end{eqnarray*}$

Meine Frage: Was ist denn die Reihensumme überhaupt? Sowas wie der Grenzwert? Ich habs schon gegoogelt, aber keine richtige Erklärung gefunden.
Und wie rechne ich da jetzt weiter??
Wenn mir jemand einen Ansatz liefern könnte, wäre ich schon sehr dankbar, weil ich komm da einfach nicht weiter...
Danke!!

26.11.2010, 23:31

tmo

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Nun so weitermachen:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{n} - \frac{7}{3(n+1)} + \frac{1}{3(n+4)} = \left(\frac{7}{3n} - \frac{7}{3(n+1)}\right) - \left(\frac{1}{3n} - \frac{1}{3(n+4)} \right) \end{eqnarray*}$

Du musst jetzt nur noch die beiden Teleskopsummen erkennen.

Und ja, mit Reihensumme ist der Grenzwert gemeint. Hier kannst du sogar die n-te Partialsumme angeben.

26.11.2010, 23:33

Abakus

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RE: Reihensumme finden...

Zitat:

Original von kurtk
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2}{n}-\frac{7}{3(n+1)}+\frac{1}{3(n+4)} \end{eqnarray*}$

Hallo!

Die Summe ist der Grenzwert der Partialsummen, ja.

Schreibe hier alle Summanden in der Form $\begin{eqnarray*} \frac{X}{3n} \end{eqnarray*}$ , dazu musst du ggf. einige Glieder hinzufügen oder abziehen. Dann fasse zusammen.

Und schreibe bitte alle 3 Summanden in eine Klammer!

Grüße Abakus smile

PS: tmo hat hier (schneller) eine ähnliche Idee Augenzwinkern

28.11.2010, 19:21

kurtk

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Danke schonmal euch beiden!!

Zitat:

Original von tmo
Nun so weitermachen:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{n} - \frac{7}{3(n+1)} + \frac{1}{3(n+4)} = \left(\frac{7}{3n} - \frac{7}{3(n+1)}\right) - \left(\frac{1}{3n} - \frac{1}{3(n+4)} \right) \end{eqnarray*}$

Du musst jetzt nur noch die beiden Teleskopsummen erkennen.

Ok ich hab jetzt das mal so aufgeschrieben:
$\begin{eqnarray*} (\frac{7}{3} -\frac{7}{6} )-(\frac{1}{3}-\frac{1}{15} ) + (\frac{7}{6} -\frac{7}{9} )-(\frac{1}{6} -\frac{1}{18} ) +(\frac{7}{9}-\frac{7}{12})-(\frac{1}{9} - \frac{1}{21}) ... \end{eqnarray*}$

Dann fallen bis auf $\begin{eqnarray*} \frac{7}{3} \end{eqnarray*}$ alle mit 7 im Zähler weg, oder? Wäre das dann eine Teleskopsumme verwirrt

von sowas hab ich noch nie gehört, wurde auch in der Vorlesung und in den Übungen nie erwähnt..und was wikipedia dazu sagt, glaub ich hab ich fast verstanden...)
In der zweiten Klammer erkenne ich kein solches Muster, soll da auch was wegfallen?
Hab ich das überhaupt so richtig gemacht?

28.11.2010, 19:32

Abakus

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Da bleiben aber noch mehr übrig als der Summand mit 7/3.

Und ja, es ist eine Teleskopsumme.

Grüße Abakus smile

29.11.2010, 12:19

kurtk

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Ok laut Wikipedias Teleskopsummen-eintrag müssten der erste und der letzte Summand übrig bleiben, also $\begin{eqnarray*} \frac{7}{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{7}{n} \end{eqnarray*}$ oder??
Im zweiten Teil hab ich keine Ahnung wie sich das auflöst, damit da was rauskommt...
Gibt's vielleicht noch einen kleinen Tipp für jemanden, der nicht weiter weiß Hilfe

Ich wär sehr dankbar dafür!

29.11.2010, 20:42

Abakus

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Zitat:

Original von kurtk
Ok laut Wikipedias Teleskopsummen-eintrag müssten der erste und der letzte Summand übrig bleiben, also $\begin{eqnarray*} \frac{7}{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{7}{n} \end{eqnarray*}$ oder??

Diese Teleskopsumme ist komplizierter, ich denke nicht. Mache eine Strichliste, was sich weghebt oder markiere es irgendwie.

Grüße Abakus smile

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