komplizierte Kongruenzaufgabe

26.11.2010, 19:26

digger

komplizierte Kongruenzaufgabe

sei $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\equiv 1 mod 4 \end{eqnarray*}$ , dann gilt für alle $\begin{eqnarray*} k\geq 1 : 2^{k} \end{eqnarray*}$ teilt $\begin{eqnarray*} 1 + a + a^{2} + ... + a^{2^{k}-1 } \end{eqnarray*}$

Wie geht man vor? Wer kann helfen?

26.11.2010, 19:31

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist

$\begin{eqnarray*} 1 + a + a^2 + \ldots + a^{2^{k+1}-1} = \left( 1 + a + a^2 + \ldots + a^{2^k-1} \right) \cdot \left( 1 + a^{2^k} \right) \end{eqnarray*}$ ,

nachrechnen!

26.11.2010, 19:36

digger

Auf diesen Beitrag antworten »

und was fange ich damit an?

ich weiß bisher nur, dass a-1 mod 4 = 0
Wie führe ich den Beweis?

danke für die Hilfe im Voraus!

26.11.2010, 19:40

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von digger
und was fange ich damit an?

Es ist schade, dass du nicht mal ein bisschen selbst drüber nachdenken willst. unglücklich

Der neu hinzugekommene Faktor $\begin{eqnarray*} \left( 1 + a^{2^k} \right) \end{eqnarray*}$ ist durch 2 teilbar, also kommt ein Faktor 2 beim Übergang von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} k+1 \end{eqnarray*}$ hinzu...

26.11.2010, 19:50

digger

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Es ist schade, dass du nicht mal ein bisschen selbst drüber nachdenken willst.

vielleicht liegt es daran, dass ich schon seit 3 Stunden über das Problem brüte, alles Mögliche schon probiert habe und die Geduld verloren habe.

Mir ist nicht klar
1. was $\begin{eqnarray*} a\equiv 1 mod 4 \end{eqnarray*}$ als Voraussetzung damit zu tun hat, bzw. obes überhaupt eine Rolle spielt
2. das heißt diese Aufgabe läuft auf vollständige Induktion hinaus? Woran erkenne ich das?

26.11.2010, 19:55

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von digger
1. was $\begin{eqnarray*} a\equiv 1 mod 4 \end{eqnarray*}$ als Voraussetzung damit zu tun hat

Wann ist denn $\begin{eqnarray*} \left( 1 + a^{2^k} \right) \end{eqnarray*}$ durch 2 teilbar: Auch für $\begin{eqnarray*} a\equiv 0 \bmod 4 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a\equiv 2 \bmod 4 \end{eqnarray*}$ ???

Zitat:

Original von digger
2. das heißt diese Aufgabe läuft auf vollständige Induktion hinaus?

Ja.

Das war's für mich jetzt im Thread. Wink

Neue Frage »

Antworten »

komplizierte Kongruenzaufgabe

Verwandte Themen