Basis/Dimension

26.11.2010, 19:41

Ravenlord

Basis/Dimension

Hallo, habe Probleme bei folgender Aufgabe:

Sei V ein Vektorraum der Dimension n. Zeigen Sie, dass es n+1 Vektoren derart gibt, dass je n davon linear unabhängig sind.

Meine Ideen:

Die Basis von V hat n Elemente.
$\begin{eqnarray*} <v_{1}, ..., v_{n+1}> = <v_{1}, ..., v_{n}> \end{eqnarray*}$
n+1 Vektoren sind linear abhängig, d.h. es gibt einen Vektor v aus $\begin{eqnarray*} v_{1}, ..., v_{n+1} \end{eqnarray*}$ , der sich als Linearkombination der anderen darstellen lässt.

Könntet ihr mir helfen? smile

Wäre sehr nett!

26.11.2010, 19:47

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis/Dimension
Es ist klar, dass n+1 Vektoren aus einen n-dim VR linear abhängig sind. Nun kannst du dir eine Basis nehmen. Wie musst du nun den zusätzlichen wählen, dass egal welchen der Basisvektoren du streichst, du linear unabhängige Vektoren hast.

26.11.2010, 19:51

Ravenlord

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank.

Ist es richtig, dass der zusätzliche Vektor Linearkombination aus allen Vektoren der Basis außer dem, der weggestrichen wird, sein muss?

26.11.2010, 19:52

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist nahe dran. Aber du darfst nur einen Vektor nehmen, nicht je streichen einen.

26.11.2010, 20:05

Ravenlord

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann würde ich den Vektor $\begin{eqnarray*} w := \lambda_{1}v_{1} + ... + \lambda_{n}v_{n} \end{eqnarray*}$ wählen? Also einen Vektor, der eine Linearkombination aller Vektoren der Basis ist. Also wenn man einen Vektor $\begin{eqnarray*} v_{k} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} k \in \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} 1, 2, ..., n \end{eqnarray*}$ } wegnimmt, dass der jeweilige Summand $\begin{eqnarray*} \lambda_{k}v_{k} \end{eqnarray*}$ von w erhalten bleibt.

Edit: Wenn das stimmt, muss ich dann noch zeigen, dass es für n+2 Vektoren nicht gilt?

26.11.2010, 20:06

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Warum mit lambda? Da fragt man sich gleich, warum lambda=0 nicht ausgeschlossen wird. Ich würde da eine ganz einfache konkrete Zahl wählen.

26.11.2010, 20:12

Ravenlord

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann lasse ich die lambda's einfach weg, also setze quasi $\begin{eqnarray*} \lambda_{i} = 1 \end{eqnarray*}$ . Gilt ja für alle anderen lambdas != 0 auch.

Muss ich noch zeigen, dass es für n+2 Vektoren nicht gilt?

Ich bedanke mich schon mal - ganz klasse, deine Hilfe!!! Freude

26.11.2010, 20:15

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Zeigen Sie, dass es n+1 Vektoren derart gibt, dass je n davon linear unabhängig sind.

Nein, da steht ja nicht, dass es nur für genau (n+1) Vektoren zu zeigen ist. Du musst die n+1 Vektoren angeben, so dass sie Bedingung erfüllt ist.

Neue Frage »

Antworten »

Basis/Dimension

Verwandte Themen