[Karpfinger/Meyberg] Gruppen 2.5 (*)

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tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
[Karpfinger/Meyberg] Gruppen 2.5 (*)
Nun eine Aufgabe zum Satz von Cayley. Dabei soll die Gruppe für die Klein'sche Vierergruppe explizit bestimmt werden. Also die Untergruppe der symmetrischen Gruppe von G, zu der G laut Satz isomorph ist.

Dabei gelten die Definitionen





Also muss ich nun doch die 4 Abbildungen (Linkstranslationen) anschauen, oder? Nennen wir die Elemente aus KVG 1,a,b,ab. Die jeweiligen Abbildungsvorschriften von stehen dann gerade in den Zeilen der Gruppentabelle.

Wie finde ich nun die Untergruppe aus der S4? Die muss in der ersten ebene dieses Diagramms stehen, oder?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, du musst, um die Aufgabe zu lösen, nur in der Verknüpfungstafel ablesen, welche Vertauschungen die Linksmultiplikationen auf den Elementen der Gruppe auslösen.

Das liefert dir eine Menge von Permutationen; diese ist bereits die Untegruppe, wenn du die gesamte Verknüpfungstafel durchgehst.

Die Gruppe steht in der ersten Spalte des Diagramms, falls du das mit Ebene gemeint haben solltest.

Sie heißt dort D2.
Manus Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du einfach die Elemente der zur isomorphen Untergruppe der bestimmen möchtest würde ich wie folgt vorgehen.

Nimm deine Elemente 1,a,b,ab her und nummeriere sie durch von 1 bis 4. Jetzt guckst du dir die Abbildung für eines der Elemente an und schaust, wie sie deine Elemente permutiert. Als beispiel mal für .

Hier gilt (unter obiger Identifikation wird also die 1 auf die 2 abgebildet), , (sprich die 3 geht auf die 4) und .

Unsere Abbildung entspricht also unter der obigen Identifikation unserer Gruppe mit einer (mehr oder weniger beliebigen) vierelementigen Menge in Zykelschreibweise der Abbildung .

Ich hoffe, das beantwortet die Frage.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich die Zeilen auslese, komme ich auf die Permutationen id, (12)(34), (13)(24) und (14)(23). verwirrt Und mit denen kann auch auch wieder eine Tabelle aufschreiben. Struktur ist wie bei KVG. Aber nun als UG der S4 identifizierbar. In dieser Gestalt nennt man sie dann auch D2, also Diedergruppe mit n=2? Was ist denn ein reguläres 2 Eck? Eine Strecke? verwirrt
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Also wenn ich die Zeilen auslese, komme ich auf die Permutationen id, (12)(34), (13)(24) und (14)(23). verwirrt


Korrekt. Das ist die oder auch KVG, oder eben auch , denn:

Zitat:
In dieser Gestalt nennt man sie dann auch D2, also Diedergruppe mit n=2? Was ist denn ein reguläres 2 Eck? Eine Strecke? verwirrt


Hier würde ich mich von der geometrischen Anschauung verabschieden. Man bekommt die aber noch als definiert, wenn man beachtet, dass (das ist eine Präsentation der Gruppe, das muss dir nicht unbedingt etwas sagen). Das soll einfach heißen: Man kann mit dieser allgemeineren Definition die und die als und in die Diedergruppen "einreihen".

Vielleicht noch kurz etwas allgemeines zur Diedergruppe: Hier ist . Es ist aber auch nicht unüblich, die Bezeichnung so zu belegen, dass , was natürlich dann nur noch gerade zulässig macht.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, vielen Dank euch beiden.
 
 
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