operatoren

26.11.2010, 21:01

Hessi

operatoren

Meine Frage:
Hallo,
Ich habe den Operator gegeben, mit
-h²/sin²(a)*[sin(a)*d/da*(sin(a)*d/da) + d²/db²] und wollte wissen, ob ich diesen in der Art vereinfachen kann/darf:

Meine Ideen:
Ich wollte das in dieser Art durchführen

-h²*1/sin²(a)*[sin²(a)*d²/da² + d²/db²] = -h²*[d²/da² + d²/db²]

Vielen Dank schon mal im voraus

28.11.2010, 01:09

gonnabphd

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Hi,

Zur schöneren Darstellung benutze bitte nächstes Mal den Formeleditor. Der ist kinderleicht zu bedienen und es wird sofort alles viel leserlicher!

Geht es also hierum?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{-h²}{\sin²(a)}\left[\sin(a)\frac{\partial}{\partial a}\left(\sin(a)\frac{\partial}{\partial a}\right) + \frac{\partial ²}{\partial b²}\right] \end{eqnarray*}$

also um den Operator

$\begin{eqnarray*} f(a,b) \mapsto \frac{-h²}{\sin²(a)}\left[\sin(a)\frac{\partial}{\partial a}\left(\sin(a)\frac{\partial f}{\partial a}\right) + \frac{\partial ² f}{\partial b²}\right] \end{eqnarray*}$

?

Gruss Wink

29.11.2010, 12:36

Hessi

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Am besten gebe ich mal die komplette Aufgabenstellung wieder

Aufgabenstellung:
Zeigen Sie das es sich bei der Fkt.

$\begin{eqnarray*} \sin(\alpha ) *e^{-i\beta } \end{eqnarray*}$
um eine Eigenfkt. des Operators

$\begin{eqnarray*} \frac{-h²}{\sin²(\alpha )}*[ \sin(\alpha )\frac{d}{d(\alpha)} *(\sin(\alpha )\frac{d}{d\alpha }) + \frac{d²}{d\beta ²}] \end{eqnarray*}$

handelt und berechnen sie den Eigenwert.

Also habe ich erst einmal den Operator etwas vereinfacht zu:

$\begin{eqnarray*} -h²[\frac{d²}{d\alpha ²} + \frac{1}{\sin²\alpha }*\frac{d²}{d\beta ²}] \end{eqnarray*}$

und anschließend mit meiner Fkt. ausmultipliziert. Ergibt bei mir

$\begin{eqnarray*} h²*\sin(\alpha)*e^{-i\beta }*\frac{d²}{d\alpha²} + h²*\sin(\alpha)*e^{-i\beta }*\frac{1}{\sin²\alpha } *\frac{d²}{d\beta ²} \end{eqnarray*}$

Anschließend habe ich die Fkt abgeleitet und als Ergebnis
$\begin{eqnarray*} \sin(\alpha)*e^{-i\beta}*(h² + \frac{h²}{\sin²\alpha }) \end{eqnarray*}$ erhalten.

Das Ergbenis sollte aber laut Vorlesung 2h² sein. Mein Problem ist jetzt, das ich meinen Fehler nicht finden kann.

Gruß

29.11.2010, 13:15

gonnabphd

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Hmm, wenn da ein Multiplikationszeichen steht, dann ist das irgendwie ein bisschen uneindeutig. verwirrt

Naja, mal schauen, was zur Lösung passt ^^

Erstmal mein Vorschlag von oben (in diesem Falle wäre das * nicht angebracht - oder hast du den evtl selber reininterpretiert? Augenzwinkern

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(a,b) \mapsto \frac{-h²}{\sin²(a)}\left[\sin(a)\frac{\partial}{\partial a}\left(\sin(a)\frac{\partial f}{\partial a}\right) + \frac{\partial ² f}{\partial b²}\right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial \alpha} \sin(\alpha ) e^{-i\beta } = \cos(\alpha ) e^{-i\beta } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin(\alpha) \frac{\partial}{\partial \alpha} \left( \sin(\alpha ) \cdot \frac{\partial}{\partial \alpha} \sin(\alpha ) e^{-i\beta } \right) = \sin(\alpha) \frac{\partial}{\partial \alpha} \left( \sin(\alpha ) \cdot \cos(\alpha ) e^{-i\beta } \right) = \sin(\alpha) (\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha))e^{-i\beta} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial \beta} \sin(\alpha ) e^{-i\beta } = -i \sin(\alpha)e^{-i\beta} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2}{\partial \beta^2} \sin(\alpha ) e^{-i\beta } =- \sin(\alpha)e^{-i\beta} \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} \frac{-h²}{\sin²(a)}\left[\sin(a)\frac{\partial}{\partial a}\left(\sin(a)\frac{\partial f}{\partial a}\right) + \frac{\partial ² f}{\partial b²}\right] &=& \frac{-h²}{\sin²(a)}\left[sin(\alpha) (\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha))e^{-i\beta} - \sin(\alpha)e^{-i\beta}\right] \\ &=& \frac{-h²}{\sin²(a)}\left[ (\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) - 1) \sin(\alpha)e^{-i\beta}\right] \end{eqnarray*}$

Ja, sieht doch schonmal gut aus. Den Rest kannst du selber machen.

Der Operator ist also so definiert, wie oben vorgeschagen. Man wendet also $\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial \alpha} \end{eqnarray*}$ im mittleren Teil auf $\begin{eqnarray*} \sin(\alpha) \frac{\partial}{\partial \alpha} f(\alpha, \beta) \end{eqnarray*}$ an. Deshalb müsstest du da, wenn du den Teil vereinfachen/"ausmultiplizieren" willst, die Kettenregel anwenden.

Kurze Verständnisfrage: Wie sähe also die korrekte Umformung des Operators in einer Darstellung der Form

$\begin{eqnarray*} x(\alpha, \beta) \frac{\partial}{\partial \alpha} + y(\alpha, \beta) \frac{\partial^2}{\partial \alpha^2} + z(\alpha, \beta) \frac{\partial}{\partial \beta} \end{eqnarray*}$

mit Funktionen $\begin{eqnarray*} x, y, z \end{eqnarray*}$ aus?

30.11.2010, 17:29

Hessi

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Ok,
das hat mir schon mal sehr geholfen und was noch viel wichtiger ist, ich komme jetzt auch auf das richtige Ergebnis. smile

Mein Problem war also tatsächlich, das ich den Operator falsch angewendet habe und ihn nicht wie vorgegeben von "links" auf die Fkt. habe wirken lassen Hammer

Vielen dank nochmal

Gruß

01.12.2010, 00:03

gonnabphd

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Da du Probleme hattest den Operator korrekt umzuformen und es relativ wichtig wäre, das auch zu verstehen, hatte ich noch eine Zusatzfrage gestellt:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x(\alpha, \beta) \frac{\partial}{\partial \alpha} + y(\alpha, \beta) \frac{\partial^2}{\partial \alpha^2} + z(\alpha, \beta) \frac{\partial}{\partial \beta} \end{eqnarray*}$

mit Funktionen $\begin{eqnarray*} x, y, z \end{eqnarray*}$ aus?

Du musst das nicht unbedingt hier eintippen, aber überlegen solltest du's dir...

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