Bedingte Wahrscheinlichkeit

26.11.2010, 22:18	Black	Auf diesen Beitrag antworten »
Bedingte Wahrscheinlichkeit Gegeben habe ich X,Y ZV, wobei beide stetig verteilt sind. Die Dichte von X ist gegeben, ebenso die auf X bedingte Dichte von Y, $\begin{eqnarray} P_{Y\|X=x} \end{eqnarray}$ Es gilt $\begin{eqnarray} \varphi_X(x)=x \cdot e^{-x} \cdot 1_{(0,\infty)} (x) \end{eqnarray}$ und Y ist auf [0,x] gleichverteilt. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass $\begin{eqnarray} X+Y \leq 2 \end{eqnarray}$ Dabei soll es nützlich sein, diese zuvor bewiesene Aussage zu verwenden: $\begin{eqnarray} P(A)= \int \ P(A\|X=x)\cdot \varphi_X(x) \, dx \end{eqnarray}$ Nun ist meine gesuchte Wahrscheinlichkeit ja gerade $\begin{eqnarray} P(X+Y \leq 2 ) \end{eqnarray}$ Also setze ich $\begin{eqnarray} A:=\{X+Y \leq 2\} \end{eqnarray}$ und versuche damit oben die rechte Seite zu berechnen. Dafür brauch ich jedoch $\begin{eqnarray} P(X+Y \leq 2 \| X=x)=P(Y \leq 2-x) \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} P(X+Y \leq 2 )= \int P(Y \leq 2-x) \varphi_X (x) dx=\int \ \frac {1}{x} \int_0^{2-x} \ 1_{[0,x]}(y) dy \cdot x \cdot e^{-x} \cdot 1_{(0,\infty)}(x) dx \end{eqnarray}$ Und das ist gerade: $\begin{eqnarray} \int_0^1 \int_0^x \ 1 \ dy \cdot e^{-x} dx + \int_1^2 \int_0^{2-x} \ 1 \ dy \cdot e^{-x} dx \end{eqnarray}$ Stimmt das soweit?

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