Basen, Span und Unterräume - Aufgaben

27.11.2010, 11:45

Fealy

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Basen, Span und Unterräume - Aufgaben

Hallo,

wir haben Basis, Span Dimension und Unterraum eingeführt. Leider habe ich die Thematik noch nicht vollkommen verinnerlicht. Es geht nun um 3 Aufgaben, die ich soweit gelöst habe, ich mir jedoch nicht sicher bin ob ich richtig liege oder mich auf Glatteis bewege.

Es wäre nett, wenn Ihr euch meine Überlegungen mal anschauen würdet.

Zu den Aufgaben:

Es seien: $\begin{eqnarray*} \vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ \end{pmatrix} ; \vec{b} = \begin{pmatrix} 0.3 \\ -2 \\ \end{pmatrix} ; \vec{c} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5.2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

a) Bilden die Vektoren a,b und c eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ?

Meine Überlegung: Nein, denn man hat mehr als n Vektoren als $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ , d.H. die Vektoren sind linear abhängig u. daraus folgt das a,b und c keine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ! Ausserdem steht im Skript: Gerade -> Dimension 1 (wäre hier der Fall?)

b) Liegt $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ im Span $\begin{eqnarray*} {\left({\vec{a},\vec{b} }\right)} \end{eqnarray*}$ ?

Meine Überlegung:

Span: Menge aller möglichen Linearkombinationen gegebener Vektoren. Dh es muss geprüft werden ob c eine LK von a,b darstellt:

Ich habe als Lösung $\begin{eqnarray*} -3.7 \neq -6.4 \end{eqnarray*}$ Daraus folgt c liegt nicht im Span a,b. Ausserdem hat ein Span dieses Raumes sowieso Dimension 1, oder?

c) Konstruieren Sie eine Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ , die a u. b enthält.

Mein Überlegung: Nicht möglich ist, da die Basis üblicherweise aus Elementen des Vektorraums bestehen muss: $\begin{eqnarray*} \vec{a};\vec{b} {\not\in} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$

Gruß,

Fealy

27.11.2010, 11:56

tigerbine

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RE: Basen, Span und Unterräume - Aufgaben
(a) Korrektes Zitat. 3 Vektoren im 2D-VR sind immer linear abhängig. Freude

Freude

Das mit der Gerade passt nicht. Man kann eine (Urspungsgerade) als span eines Vektors im IR² auffassen. Die Dimension dieses UVR ist 1.

(b) Nein. Du hast aus den 3 Vektoren 2 Ausgewählt. Da nicht Nullvektoren, kann der span die Dim 1 oder Dim 2 haben. Frage dich bitte zuerst: Sind a und b linear abhängig oder unabängig. Dann machen wir weiter.

(c) Das ist korrekt. Man kann sich nur eine "Art Einbettung" überlegen. Dann sind das aber nicht mehr a und b.

27.11.2010, 12:24

Fealy

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RE: Basen, Span und Unterräume - Aufgaben

Zitat:

Original von tigerbine
(b) Nein. Du hast aus den 3 Vektoren 2 Ausgewählt. Da nicht Nullvektoren, kann der span die Dim 1 oder Dim 2 haben. Frage dich bitte zuerst: Sind a und b linear abhängig oder unabängig. Dann machen wir weiter.

Die Vektoren a und b sind linear unabhängig. Und nun ? smile

smile

27.11.2010, 12:25

tigerbine

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RE: Basen, Span und Unterräume - Aufgaben
Was bilden sie denn dann im IR²?

27.11.2010, 12:28

Fealy

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RE: Basen, Span und Unterräume - Aufgaben
Sie bilden eine Basis, oder?

27.11.2010, 12:29

tigerbine

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RE: Basen, Span und Unterräume - Aufgaben
Genau. Was hat das für eine Konsequenz für die Frage in (b)?

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27.11.2010, 12:33

Fealy

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Dass dim=1 vorliegt?

27.11.2010, 12:37

Fealy

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Nein ich glaube das war quatsch mit der Dimension. Ich komm nicht drauf unglücklich

unglücklich

27.11.2010, 12:37

tigerbine

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Das ist doch "Unsinn" (nicht böse gemeint). Was ist denn in (b) gefragt? Wo ist da nach einer Dimension gefragt?

Zitat:

Liegt $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ im Span $\begin{eqnarray*} {\left({\vec{a},\vec{b} }\right)} \end{eqnarray*}$ ?

edit: Wenn a und b eine Basis von IR² sind. Was ist dann der Span von a und b? Und c ist Element von was?

27.11.2010, 12:38

Fealy

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Ob c element vom Span (a,b) ist?

Edit: Vielleicht muss ich prüfen ob a und c und ob b und c Linearkombinationen darstellen?

27.11.2010, 12:40

tigerbine

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und was ist span(a,b)

27.11.2010, 12:48

Fealy

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Die Menge aller möglichen Linearkombinationen. Dh c kann nicht im Span (a,b) liegen? Da, wie bei a man dann lineare Abhängigkeit hätte?

Frage: Die Elemente im Span müssen lin. unabh. sein ?

27.11.2010, 12:50

tigerbine

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Der erste Satz ist richtig. Den Rest vergisst du bitte. Wir haben nun aber doch schon ermittelt, was die Menge aller LK von a und b sind. Was ist das nämlich, da a und b eine Basis des IR² bilden?

27.11.2010, 12:51

Fealy

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Na a und b ?

Edit: Ich steh mächtig auf dem Schlauch *sry*

27.11.2010, 12:57

tigerbine

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Nein. Bitte mach eine Pause und denke danach noch mal über den Begriff Basis nach. Und dann beantworte ganz kurz, ein Symbol:

span(a,b)=?

27.11.2010, 13:26

Fealy

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span(a,b)=c, da die Basis ein System linear unabhängiger Vektoren darstellt und ich mit Hilfe der Basis jedes element des V aufspannen kann?

27.11.2010, 13:29

tigerbine

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Nein. Ich frage anders.

Was ist ein Erzeugendensystem eines Vektorraums?
Was erzeugt es?

27.11.2010, 13:39

Fealy

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Menge unendlich vieler Spaltenvektoren gleicher Ordnung.

EZS erzeugt einen Unterraum.

27.11.2010, 13:43

tigerbine

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Also ein Erzeugendensystem eines Vektorraums erzeugt nur einen Unterraum? unglücklich

unglücklich

27.11.2010, 13:50

Fealy

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Von Erzeugendensystem haben wir in der Vorlesung nicht gesprochen. Es steht in dem Buch auch nicht wirklich gut beschrieben, tut mir leid.

Wenn Span (a,b) eine Basis des R^2 bilden. Dann muss doch auch jeder Vektor des R^2 (c!) im Span von (a,b) liegen.

27.11.2010, 13:58

tigerbine

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Zitat:

Original von Fealy
Wenn Span (a,b) eine Basis des R^2 bilden. Dann muss doch auch jeder Vektor des R^2 (c!) im Span von (a,b) liegen.

Das ist (endlich) die richtige Antwort. Das heißt aber nicht, dass der Span von a und b gleich c ist - was du die ganze Zeit schreibst. es ist span(a,b)=IR².

27.11.2010, 13:59

Fealy

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Argh. Ja klar...

Naja, jedenfalls ist es mir jetzt klar. Hat sich gelohnt. Danke für deine super Hilfe

Lg,

27.11.2010, 14:00

tigerbine

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Da muss man einmal im Kopf aufräumen. Prima, dass du nicht aufgegeben hast. Freude

Freude

27.11.2010, 20:23

Fealy

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Noch ne kleine Frage:

Ich soll ein System von 4 Vektoren in R^3 angeben, das R^3 erzeugt.

Meine Überlegung:

Da mehr als 4 Vektoren in R^3 immer l. ab. kann man solch ein System nicht angeben (Siehe Definition von Basis).

Lg,

27.11.2010, 20:26

tigerbine

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Das bringt uns zurück zu dem Begriff "Erzeugendensystem". Es steht nirgends, dass die 4 vektoren lu sein sollen.

27.11.2010, 20:31

Fealy

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Hier in so nem Buch steht:

"Ein Erzeugendensystem eines vollständigen R^m muss m linear unabhänigige (mx1) Vektoren enthalten, denn nur dann lässt sich jeder beliebig (mx1)-Vektor als LK des EZS darstellen."

Deswegen dachte ich, dass ich 4 l. u. Vektoren bräuchte. Und dass das in R^3 nicht möglich sei.

Und nun ? unglücklich

unglücklich

27.11.2010, 20:34

tigerbine

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Das ist unmöglich die Definition des Erzeugendensystems. Des weiteren steht da nur drin, dass es, um den VR zu erzeugen, eine Basis als Teilmenge haben muss. Nicht, dass es gleich einer Basis ist. Das ist ein großer Unterschied.

27.11.2010, 20:38

Fealy

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"Ein Erzeugendensystem ist eine Menge von Vektoren, die einen Vektorraum erzeugen, d.h. sei <x1,x2,...,xn> ein Erzeugendensystem eines Vektorraumes V, dann lassen sich alle Elemente aus V durch eine Linearkombination der x1,..,xn darstellen."

Ich habe diese Definition gefunden:

Jetzt muss ich quasi 4 Vektoren des R^3 finden, mit denen ich alle Elemente des R^3 darstellen kann?

27.11.2010, 20:43

tigerbine

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Genau. 3 reichen, möglichst einfach. Den vierten kannst du frei wählen (aus dem IR³)

27.11.2010, 20:46

Fealy

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Okay.

Ebene in R^3 ist ja darstellbar per: X = A + t · a + s · b

Deswegen brauche in mindestens 3, oder?

27.11.2010, 20:49

tigerbine

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Lass die Anschauung weg. Die behindert dich nur, wenn du in LinA zurecht kommen willst. IR³ hat Dimension 3 (bekannt). Du sollst nun einfach nur 4 konkrete Vektoren angeben, die den IR³ erzeugen.

27.11.2010, 20:52

Fealy

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Habe diese willkürlich gewählt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Korrekt?

27.11.2010, 20:54

tigerbine

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Und bei denen siehst du auf einen Blick, dass 3 davon lu sind? Ich würde das viiiiiiiiiiiiiiel einfacher wählen.

27.11.2010, 20:57

Fealy

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie wärs hiermit smile

smile

?

27.11.2010, 20:58

tigerbine

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Sehr schön.

27.11.2010, 20:58

Fealy

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Ich habe zu danken! Blumen

Blumen

27.11.2010, 21:00

tigerbine

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Wink

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