Basen, Span und Unterräume - Aufgaben

Neue Frage »

Fealy Auf diesen Beitrag antworten »
Basen, Span und Unterräume - Aufgaben
Hallo,

wir haben Basis, Span Dimension und Unterraum eingeführt. Leider habe ich die Thematik noch nicht vollkommen verinnerlicht. Es geht nun um 3 Aufgaben, die ich soweit gelöst habe, ich mir jedoch nicht sicher bin ob ich richtig liege oder mich auf Glatteis bewege.

Es wäre nett, wenn Ihr euch meine Überlegungen mal anschauen würdet.

Zu den Aufgaben:

Es seien:

a) Bilden die Vektoren a,b und c eine Basis des ?

Meine Überlegung: Nein, denn man hat mehr als n Vektoren als , d.H. die Vektoren sind linear abhängig u. daraus folgt das a,b und c keine Basis des ! Ausserdem steht im Skript: Gerade -> Dimension 1 (wäre hier der Fall?)

b) Liegt im Span ?

Meine Überlegung:

Span: Menge aller möglichen Linearkombinationen gegebener Vektoren. Dh es muss geprüft werden ob c eine LK von a,b darstellt:

Ich habe als Lösung Daraus folgt c liegt nicht im Span a,b. Ausserdem hat ein Span dieses Raumes sowieso Dimension 1, oder?

c) Konstruieren Sie eine Basis von , die a u. b enthält.

Mein Überlegung: Nicht möglich ist, da die Basis üblicherweise aus Elementen des Vektorraums bestehen muss:

Gruß,

Fealy
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basen, Span und Unterräume - Aufgaben
(a) Korrektes Zitat. 3 Vektoren im 2D-VR sind immer linear abhängig. Freude Das mit der Gerade passt nicht. Man kann eine (Urspungsgerade) als span eines Vektors im IR² auffassen. Die Dimension dieses UVR ist 1.

(b) Nein. Du hast aus den 3 Vektoren 2 Ausgewählt. Da nicht Nullvektoren, kann der span die Dim 1 oder Dim 2 haben. Frage dich bitte zuerst: Sind a und b linear abhängig oder unabängig. Dann machen wir weiter.

(c) Das ist korrekt. Man kann sich nur eine "Art Einbettung" überlegen. Dann sind das aber nicht mehr a und b.
 
 
Fealy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basen, Span und Unterräume - Aufgaben
Zitat:
Original von tigerbine
(b) Nein. Du hast aus den 3 Vektoren 2 Ausgewählt. Da nicht Nullvektoren, kann der span die Dim 1 oder Dim 2 haben. Frage dich bitte zuerst: Sind a und b linear abhängig oder unabängig. Dann machen wir weiter.


Die Vektoren a und b sind linear unabhängig. Und nun ? smile
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basen, Span und Unterräume - Aufgaben
Was bilden sie denn dann im IR²?
Fealy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basen, Span und Unterräume - Aufgaben
Sie bilden eine Basis, oder?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basen, Span und Unterräume - Aufgaben
Genau. Was hat das für eine Konsequenz für die Frage in (b)?
Fealy Auf diesen Beitrag antworten »

Dass dim=1 vorliegt?
Fealy Auf diesen Beitrag antworten »

Nein ich glaube das war quatsch mit der Dimension. Ich komm nicht drauf unglücklich
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist doch "Unsinn" (nicht böse gemeint). Was ist denn in (b) gefragt? Wo ist da nach einer Dimension gefragt?

Zitat:
Liegt im Span ?


edit: Wenn a und b eine Basis von IR² sind. Was ist dann der Span von a und b? Und c ist Element von was?
Fealy Auf diesen Beitrag antworten »

Ob c element vom Span (a,b) ist?

Edit: Vielleicht muss ich prüfen ob a und c und ob b und c Linearkombinationen darstellen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

und was ist span(a,b)
Fealy Auf diesen Beitrag antworten »

Die Menge aller möglichen Linearkombinationen. Dh c kann nicht im Span (a,b) liegen? Da, wie bei a man dann lineare Abhängigkeit hätte?

Frage: Die Elemente im Span müssen lin. unabh. sein ?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Der erste Satz ist richtig. Den Rest vergisst du bitte. Wir haben nun aber doch schon ermittelt, was die Menge aller LK von a und b sind. Was ist das nämlich, da a und b eine Basis des IR² bilden?
Fealy Auf diesen Beitrag antworten »

Na a und b ?

Edit: Ich steh mächtig auf dem Schlauch *sry*
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Bitte mach eine Pause und denke danach noch mal über den Begriff Basis nach. Und dann beantworte ganz kurz, ein Symbol:

span(a,b)=?
Fealy Auf diesen Beitrag antworten »

span(a,b)=c, da die Basis ein System linear unabhängiger Vektoren darstellt und ich mit Hilfe der Basis jedes element des V aufspannen kann?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Ich frage anders.

Was ist ein Erzeugendensystem eines Vektorraums?
Was erzeugt es?
Fealy Auf diesen Beitrag antworten »

Menge unendlich vieler Spaltenvektoren gleicher Ordnung.

EZS erzeugt einen Unterraum.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Also ein Erzeugendensystem eines Vektorraums erzeugt nur einen Unterraum? unglücklich
Fealy Auf diesen Beitrag antworten »

Von Erzeugendensystem haben wir in der Vorlesung nicht gesprochen. Es steht in dem Buch auch nicht wirklich gut beschrieben, tut mir leid.

Wenn Span (a,b) eine Basis des R^2 bilden. Dann muss doch auch jeder Vektor des R^2 (c!) im Span von (a,b) liegen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fealy
Wenn Span (a,b) eine Basis des R^2 bilden. Dann muss doch auch jeder Vektor des R^2 (c!) im Span von (a,b) liegen.


Das ist (endlich) die richtige Antwort. Das heißt aber nicht, dass der Span von a und b gleich c ist - was du die ganze Zeit schreibst. es ist span(a,b)=IR².
Fealy Auf diesen Beitrag antworten »

Argh. Ja klar...

Naja, jedenfalls ist es mir jetzt klar. Hat sich gelohnt. Danke für deine super Hilfe

Lg,
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Da muss man einmal im Kopf aufräumen. Prima, dass du nicht aufgegeben hast. Freude
Fealy Auf diesen Beitrag antworten »

Noch ne kleine Frage:

Ich soll ein System von 4 Vektoren in R^3 angeben, das R^3 erzeugt.

Meine Überlegung:

Da mehr als 4 Vektoren in R^3 immer l. ab. kann man solch ein System nicht angeben (Siehe Definition von Basis).

Lg,
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Das bringt uns zurück zu dem Begriff "Erzeugendensystem". Es steht nirgends, dass die 4 vektoren lu sein sollen.
Fealy Auf diesen Beitrag antworten »

Hier in so nem Buch steht:

"Ein Erzeugendensystem eines vollständigen R^m muss m linear unabhänigige (mx1) Vektoren enthalten, denn nur dann lässt sich jeder beliebig (mx1)-Vektor als LK des EZS darstellen."

Deswegen dachte ich, dass ich 4 l. u. Vektoren bräuchte. Und dass das in R^3 nicht möglich sei.

Und nun ? unglücklich
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist unmöglich die Definition des Erzeugendensystems. Des weiteren steht da nur drin, dass es, um den VR zu erzeugen, eine Basis als Teilmenge haben muss. Nicht, dass es gleich einer Basis ist. Das ist ein großer Unterschied.
Fealy Auf diesen Beitrag antworten »

"Ein Erzeugendensystem ist eine Menge von Vektoren, die einen Vektorraum erzeugen, d.h. sei <x1,x2,...,xn> ein Erzeugendensystem eines Vektorraumes V, dann lassen sich alle Elemente aus V durch eine Linearkombination der x1,..,xn darstellen."

Ich habe diese Definition gefunden:

Jetzt muss ich quasi 4 Vektoren des R^3 finden, mit denen ich alle Elemente des R^3 darstellen kann?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. 3 reichen, möglichst einfach. Den vierten kannst du frei wählen (aus dem IR³)
Fealy Auf diesen Beitrag antworten »

Okay.

Ebene in R^3 ist ja darstellbar per: X = A + t · a + s · b

Deswegen brauche in mindestens 3, oder?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Lass die Anschauung weg. Die behindert dich nur, wenn du in LinA zurecht kommen willst. IR³ hat Dimension 3 (bekannt). Du sollst nun einfach nur 4 konkrete Vektoren angeben, die den IR³ erzeugen.
Fealy Auf diesen Beitrag antworten »

Habe diese willkürlich gewählt:





Korrekt?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Und bei denen siehst du auf einen Blick, dass 3 davon lu sind? Ich würde das viiiiiiiiiiiiiiel einfacher wählen.
Fealy Auf diesen Beitrag antworten »



Wie wärs hiermit smile ?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr schön.
Fealy Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe zu danken! Blumen
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wink
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »