Freistellen einer Variable

27.11.2010, 12:05

Danip159

Freistellen einer Variable

Hallo, ich hab grad iwie ein "kleines" Problem und hoff mal jemand kann mir helfen smile

Ich soll hier eine netürliche Zahl k>0 und freistellen:

$\begin{eqnarray*} | (-\frac{2k+1}{3k+1})^{k}|\leq 10^{-3} \end{eqnarray*}$

Nun das Minus entfällt wegen dem Betrag:

$\begin{eqnarray*} \frac{(2k+1)^{k}}{(3k+1)^{k}}\leq 10^{-3} \end{eqnarray*}$

Nun nehm ich den 10-lg:

$\begin{eqnarray*} lg(\frac{(2k+1)^{k}}{(3k+1)^{k}})\leq lg(10^{-3}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} lg((2k+1)^{k})-lg((3k+1)^{k})\leq lg(10^{-3}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k*[lg(2k+1)-lg(3k+1)]\leq -3 \end{eqnarray*}$

durch k dividieren:

$\begin{eqnarray*} lg(2k+1)-lg(3k+1)\leq \frac{-3}{k} \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich nicht mehr weiter? Wär super wenn jemand einen Tipp hätte Augenzwinkern

mfg und Danke!

27.11.2010, 14:31

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Freistellen einer Variable

Zitat:

Original von Danip159
Ich soll hier eine netürliche Zahl k>0 und freistellen:

Warum? Mir scheint, deine Rechnung ist Teil einer Aufgabe, die du mal im kompletten Wortlaut posten solltest.

28.11.2010, 14:04

Danip159

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, es geht um die unendliche Reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n}*(\frac{2n+1}{3n+1})^{n} \end{eqnarray*}$
wobei ich die Folge darin als $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ bezeichne.

Zuerst hab ich mittels Leibnitz Konvergenzkriterium gezeigt, dass die Reihe konvergiert (wobei ich damit ja nicht den Reihenwert berechnen kann).

Und nun soll ich ein möglichst kleines natürliches k finden, sodass:

$\begin{eqnarray*} \forall l\geq k: |\sum\limits_{n=1}^l a_{n} -\sum\limits_{n=1}^\infty a_{n} |\leq 10^{-3} \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich, dass eine Partialsumme (wieder Leibnitzkriterium) den Reihenwert S bis auf einen gewissen Fehler annähert, der max so groß ist wie das nächste Glied der Folge. Also suche ich jetzt das erste Folgeglied, welches kleiner als 10^-3 ist.

Daraus ergibt sich für mich folgende Überlegung:

$\begin{eqnarray*} | 0 - (-\frac{2n+1}{3n+1})^{n}| \leq 10^{-3} \end{eqnarray*}$

ist.
Wobei ich dann mein n mit k bezeichnet hab und dann obiges freistellen muss.

Falls ich irgend einen Denkfehler hab, korrigiert mich mal bitte smile

mfg und Danke!

/edit: Ich merk grad, adss es garnicht so selbst verständlich ist, dass a_n gegen 0 konvergiert. Scheint aber iwie mit dem TR übereinzustimmen?

wenn ich:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (-\frac{2n+1}{3n+1})^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (\frac{-2n-1}{3n+1})^{n} \end{eqnarray*}$

kann ich das Umformen zu:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (\frac{3n+1-5n-2}{3n+1})^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (1+\frac{-5n-2}{3n+1})^{n} \end{eqnarray*}$

Und nun häng ich iwie :/

28.11.2010, 20:21

Danip159

Auf diesen Beitrag antworten »

Wär super, wenn mir jemand erklären könnte, wie ich den Grenzwert der Folge bestimme. Ich denk mir iwie, dass es vl iwas mit exp zu tun hat? Hab aber kP, bin mir auch überhaupt nicht sicher ob die gegen 0 geht.

mfg und Danke! smile

29.11.2010, 10:11

Danip159

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, laut Maple geht die gegen 0. Nun fehlt mir nur noch ein kleiner Schubs in die richtige Richtung, dass ich das auch niederschreiben kann :/?

mfg

/edit: ach ich Depp. Ist ja eine Folge und keine Reihe. Klar, adss die gegen 0 geht! Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Freistellen einer Variable

Verwandte Themen