lineare unabhängigkeit

27.11.2010, 12:21

El Rey

lineare unabhängigkeit

Meine Frage:
hallo liebes forum Augenzwinkern

ich habe hier eine aufgabe aber weis nich ob ich das richtig aufgeschrieben habe

also zur aufgabe:

sei V ein K-vektorraum und v1,v2,v3,v4 aus V linear unabhängig. zeigen sie
a) u1 := v1 + v2, u2 := v2 + v3, u3:= v3 + v1 sind linear unabhängig
b) w1 := v1 + v2, w2 := v2 + v3, w3:= v3 + v4, w4 := v4 + v1 sind linear abhängig

Meine Ideen:
mir is klar das wenn sie linear unabhängig sind folgendes gelten muss:

av1 + bv2 + ...... = 0

also dachte ich mir bei muss gelten

au1 + bu2 + cu3 = 0

dann hab ich immer umgestellt und eingesetzt:
u1 = v1 + u2 - v3
u1 = 2v1 + u2 - u3

umgestellt:
2v1 = u1 - u2 + u3

eingesetzt:

2v1 = v1 + v2 - (v2 + v3) + v3 + v1
0 = 0

kann man das so aufschreiben oder zeige ich das damit gar nich ??

bitte um schnelle hilfe Big Laugh

27.11.2010, 13:03

Leopold

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Zitat:

Original von El Rey
mir is klar das wenn sie linear unabhängig sind folgendes gelten muss:

av1 + bv2 + ...... = 0

Das ist falsch. Und zwar, weil du gerade das, worauf es in der Definition der linearen Unabhängigkeit ankommt, weggelassen hast:

$\begin{eqnarray*} \mbox{... nur für} \ \ a = b = \ldots = 0 \end{eqnarray*}$

Und das Allerwichtigste ist hier das Wörtchen "nur". Beachte den Unterschied:

Angela Merkel ist eine kompetente Politikerin.
Nur Angela Merkel ist eine kompetente Politikerin.
Angela Merkel ist nur eine kompetente Politikerin.

Manchmal steckt eben das Entscheidende in den kleinen Dingen ...

27.11.2010, 13:29

El Rey

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wie soll ich das dann zeigen ??

27.11.2010, 14:22

Leopold

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Du sollst ja zeigen, daß $\begin{eqnarray*} u_1,u_2,u_3 \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind, daß also die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 u_1 + \lambda_2 u_2 + \lambda_3 u_3 = 0 \end{eqnarray*}$

nur (!!!) für $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0 \end{eqnarray*}$ bestehen kann.

Konkret machst du das so, daß du im Ansatz

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 u_1 + \lambda_2 u_2 + \lambda_3 u_3 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_1,u_2,u_3 \end{eqnarray*}$ durch die Terme in $\begin{eqnarray*} v_1,v_2,v_3,v_4 \end{eqnarray*}$ ersetzt, ausmultiplizierst und dann nach den $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ -Gliedern ordnest:

$\begin{eqnarray*} \left( \, \text{... Term in} \ \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 \ \text{...} \, \right) v_1 + \left( \, \text{... Term in} \ \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 \ \text{...} \, \right) v_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} + \left( \, \text{... Term in} \ \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 \ \text{...} \, \right) v_3 + \left( \, \text{... Term in} \ \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 \ \text{...} \, \right) v_4 = 0 \end{eqnarray*}$

Und weil nun nach Voraussetzung $\begin{eqnarray*} v_1,v_2,v_3,v_4 \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind, müssen die Klammern den Wert 0 haben (es geht "nur" so). So bekommst du ein lineares Gleichungssystem mit vier Gleichungen in drei Unbekannten $\begin{eqnarray*} \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 \end{eqnarray*}$ . Und wenn das nur die triviale Lösung besitzt, dann hast du alles gezeigt.

27.11.2010, 18:01

El Rey

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danke für deine hilfe

27.11.2010, 18:42

El Rey

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wie schreibt man das denn bei b) auf wenn man merkt das das LGS unten einen nullvektor enthält oder wenn man merkt das die gleichungen zu keinem ergebnis führen ??

27.11.2010, 18:54

frischfisch

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Naja wenn du zeigen willst dass sie linear abhängig sind musst du nur zeigen, dass die Gleichung
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 w_1 + \lambda_2 w_2 + \lambda_3 w_3 + \lambda_4 w_4 = 0 \end{eqnarray*}$
auch andere Lösungen hat als $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = \lambda_4= 0 \end{eqnarray*}$
Es gibt dabei im Normalfall keine eindeutige Lösung, die brauchst du aber auch gar nicht.
Du musst nur eine Lösung finden, das reicht vollkommen!

27.11.2010, 18:58

El Rey

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ich finde nur sowas wie a1 = a3 reicht das schon oder sowas wie -a2 + a2 = 0 reicht das um die lin. abh. zu zeigen ??

27.11.2010, 19:01

frischfisch

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Bei solchen Gleichungen kann man einen oder mehrere Werte frei aussuchen.
Setz doch einfach mal einen Wert für z.B. a1 ein und überleg dir was die anderen Werte dann sein müssen.

28.11.2010, 19:48

Mary8390

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Zitat:

Du sollst ja zeigen, daß linear unabhängig sind, daß also die Gleichung nur (!!!) für bestehen kann. Konkret machst du das so, daß du im Ansatz durch die Terme in ersetzt, ausmultiplizierst und dann nach den -Gliedern ordnest: Und weil nun nach Voraussetzung linear unabhängig sind, müssen die Klammern den Wert 0 haben (es geht "nur" so). So bekommst du ein lineares Gleichungssystem mit vier Gleichungen in drei Unbekannten . Und wenn das nur die triviale Lösung besitzt, dann hast du alles gezeigt.

Kann man das dann so machen???:

nach Voraussetzung: v_1, v_2, v_3 \in V lin.unabh.
\Rightarrow die Klammern müssen gleich 0 sein!

LGS:

(\lambda_1+\lambda_3)*v_1=0
(\lambda_1+\lambda_2)*v_2=0
(\lambda_2+\lambda_3)*v_3=0

\Rightarrow
\lambda_1*v_1+\lambda_3*v_1=0
\lambda_1*v_2+\lambda_2*v_2=0
\lambda_2*v_3+\lambda_3*v_3=0

\Rightarrow
\lambda_1*v_1+\lambda_3*v_1=0
\lambda_1*v_2+\lambda_2*v_2=0
\lambda_2*v_3+\lambda_3*v_3=0

Annahme:
\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3=0
\Rightarrow
0*v_1+0*v_1=0
0*v_2+0*v_2=0
0*v_3+0*v_3=0

Da laut Annahme \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3=0 und laut Voraussetzung v_1, v_2, v_3 lin.unabh, also \neq 0, ist die Annahme richtig und die Klammern in dem vorherigen Beitrag richtig!!!

28.11.2010, 21:23

Mary8390

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BITTE HELFT MIR!!! unglücklich

15.11.2012, 14:24

Jauntily

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RE: lineare unabhängigkeit
Wenn bei einer Gleichung zb für f(x)=0 für x<0 oder so steht und man dann y für Labda einsetzt:

y*0 = 0

Woraus folgt, dass 0=0 ist, ist dies dann linear abhänig oder unabhängig. In diesem Fall ist ja nicht gezeigt, dass Labda 0 ist und es ist quasi auch nich möglich es zu zeige, aber was kann man über 0=0 sagen?

Wäre froh über eine flotte Antwort.

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