Integration durch Partialbruchzerlegung

27.11.2010, 12:42

Jumper7

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Integration durch Partialbruchzerlegung

Meine Frage:
Halihalo
Die Funktion f(x)= (x^4 -6x³+14x²-16x+7)/(x³-5x²+8x-6) sei nach x zu integrieren. Ein Tipp ist die Partialbruchzerlegung und eine Nullstelle ist x1= 3

Meine Ideen:
Ich habe also eine Polynomdivision durchgeführt, die mich zu x-1+[(x²-x+1)/(x³-5x²+8x-6)] geführt hat.
Mein Problem ist jetzt der bruch. Wenn der Nenner durch (x-3) geteilt wird um die anderen nullstellen rauszufinden bekomme ich x²-2x+2. in der abc formel steht dann unter der wurzel eine negative zahl(4-8) . mit pq ist es natürlich auch nciht besser.
Muss ich jetzt mit komplexen zahlen weiterrechnen oder kann man den bruch irgendwie substitueren... bzw wo ist mein denkfehler??

27.11.2010, 15:17

klarsoweit

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RE: Integration durch Partialbruchzerlegung

Zitat:

Original von Jumper7
Ich habe also eine Polynomdivision durchgeführt, die mich zu x-1+[(x²-x+1)/(x³-5x²+8x-6)] geführt hat.

Das Ergebnis ist falsch. Siehe auch http://arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivision.htm

Zitat:

Original von Jumper7
Wenn der Nenner durch (x-3) geteilt wird um die anderen nullstellen rauszufinden bekomme ich x²-2x+2. in der abc formel steht dann unter der wurzel eine negative zahl(4-8) .

Wenn ein quadratisches Polynom keine reellen Nullstellen hat, dann muß es so stehen bleiben.

27.11.2010, 15:52

Jumper7

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RE: Integration durch Partialbruchzerlegung
hm also erst mal danke für die antwort und cooler link

allerdings hab ich jetzt immer noch das problem wie ich (x²-2x+1)/ (x³-5x²+8x-6) integrieren soll den zähler kann man nach 2ter binomischen formel in (x-1)² ändern nur wie gehts weiter?
(x³-5x²+8x-6) /(x-3) = x²-2x+2 --> (x³-5x²+8x-6) = (x-3)* (x²-2x+2) bringt mir die beziehung was kann man eventuell den zähler dadruch ersetzen und (x²-2x+2) zu (x-1)²+1 umformen ....ich komme einfach nicht weiter irgendjemand muss mir doch nen tipp geben können unglücklich

unglücklich

27.11.2010, 16:23

klarsoweit

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RE: Integration durch Partialbruchzerlegung
Das Thema ist auch das Stichwort: Partialbruchzerlegung.

27.11.2010, 16:39

Jumper7

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RE: Integration durch Partialbruchzerlegung
aha
wenn dass jetzt bitte noch ein bisschen ausformuliert wird oder bezug auf meinen ansatz nimmt wär ich sehr dankbar

27.11.2010, 17:32

klarsoweit

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RE: Integration durch Partialbruchzerlegung
Noch mehr Wünsche?

Du mußt für $\begin{eqnarray*} \frac{x^2-2x+1}{x^3-5x^2+8x-6} \end{eqnarray*}$ eine Partialbruchzerlegung machen.

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27.11.2010, 19:24

Jumper7

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RE: Integration durch Partialbruchzerlegung
vielleicht liegt einfach daran das mir noch keiner erzählt hat, was eine partialbruchzerlegung genau ist...auf jeden fall kapier ich einfach nicht wies jetzt weiter gehn soll...
irgendwie muss man doch jetzt den bruch aufsplitten in mehrere brüche.... 1. wie geht das , 2. wie hilft dabei die tatsache das eine nullstelle 3 ist ?

28.11.2010, 10:33

klarsoweit

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RE: Integration durch Partialbruchzerlegung
Du mußt erstmal den Nenner in Linearfaktoren bzw. nullstellenfreie quadratische Polynome zerlegen. Dazu helfen dir die Nullstellen. Da 3 eine Nullstelle ist, kannst du im Nenner per Polynomdivision den Faktor (x - 3) abspalten.

28.11.2010, 12:30

Jumper7

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RE: Integration durch Partialbruchzerlegung
jup ok habe ich gemacht und bekomme x²-2x+2 heraus.
nur darauf kann man ja nicht die abc formel anwenden um andere nullstellen herauszufnden, da unter der wurzel etwas negatives steht...muss ich dann jetzt einen ansatz wählen bei dem komplexe zahlen berücksichtigt werden oder wie gehts weiter?

28.11.2010, 12:41

Jumper7

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RE: Integration durch Partialbruchzerlegung
Erstmal mußt du für $\begin{eqnarray*} \frac{x^7+1}{x^5+x^3} \end{eqnarray*}$ eine Polynomdivision machen, so daß der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist. Dann machst du folgenden Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \frac{p(x)}{x^5+x^3} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x^3} + \frac{Dx + E}{x^2+1} \end{eqnarray*}$

dieses problem ähnelt meinem doch oder? bitte erläre mir jemand wie man auf die in welchem zusammenhang die nenner der hinteren gleichung zur linken stehen
außerdem wie kann ich das auf mein rpob anwenden?

28.11.2010, 13:20

klarsoweit

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RE: Integration durch Partialbruchzerlegung
Du mußt jetzt folgenden Ansatz machen:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2-2x+1}{x^3-5x^2+8x-6} = \frac{A}{x-3} + \frac{Bx + C}{x^2-2x+2} \end{eqnarray*}$

28.11.2010, 14:19

Jumper7

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RE: Integration durch Partialbruchzerlegung
smile

smile

danke
ich erhalte für A= 4/5
B=1/5=C

erhalte also:
$\begin{eqnarray*} \frac{x^2-2x+1}{x^3-5x^2+8x-6} = \frac{4}{5*(x-3)} + \frac{x + 1}{5*(x^2-2x+2)} \end{eqnarray*}$
damit kann ich schon mal den faktor 4/5 rausziehn und habe das integral $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x-3} \end{eqnarray*}$
abgehackt smile

smile

bleibt $\begin{eqnarray*} \frac{x+1}{x²-2x+2} \end{eqnarray*}$ übrig.. welches man in
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{x²-2x+2} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x²-2x+2} \end{eqnarray*}$ zerlegt
der 2te ausdruck ist also auch kein probem mehr bleibt $\begin{eqnarray*} \frac{x}{x²-2x+2} \end{eqnarray*}$ falls alles bis hier richtig ist... bitte jetzt noch einen letzten ausfürlichen tipp wie man diesen bruch integrieren kann

28.11.2010, 14:25

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RE: Integration durch Partialbruchzerlegung

Zitat:

Original von Jumper7
bleibt $\begin{eqnarray*} \frac{x+1}{x²-2x+2} \end{eqnarray*}$ übrig.. welches man in
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{x²-2x+2} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x²-2x+2} \end{eqnarray*}$ zerlegt

Besser ist die Zerlegung $\begin{eqnarray*} \frac{x+1}{x^2-2x+2} = \frac 1 2 \cdot \frac{2x-2}{x^2-2x+2} + \frac{2}{x^2-2x+2} \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du im 1. Bruch den Nenner substituieren.

28.11.2010, 14:46

Jumper7

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RE: Integration durch Partialbruchzerlegung
Oh Mein Gott
das ist genial Big Laugh

Big Laugh

aber bitte wie soll man darauf von alleine kommen?

ich habe also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int_a^b \! \frac{2x-2}{(2x-2)*u} \, du + 2*\int_a^b \! \frac{1}{x²-2x+2} \, dx \end{eqnarray*}$
(das sollen unbestimmt integrale sein)
2x-2 kürzt sich weg und es bleibt :
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} * ln (x²-2x+2) + 2*ln(x²-2x+2)= \frac{5}{2}*ln (x²-2x+2) \end{eqnarray*}$
ist das korrekt?
und noch eine frage zu dem ansatz mit dem $\begin{eqnarray*} \frac{A}{x-3}+ \frac{Bx+C}{x²-2x+2} \end{eqnarray*}$
gibt es eine gute internet seite auf der diese ansätze zusammengestellt und erklärt sind?

28.11.2010, 14:49

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RE: Integration durch Partialbruchzerlegung
Mit der Integration des 2. Bruchs bin ich nicht einverstanden. Das sollte dir auch auffallen, wenn du dein Ergebnis mal ableitest.

Und wenn du keine Grenzen am Integral haben möchtest, dann lasse sie einfach weg. smile

smile

28.11.2010, 14:59

Jumper7

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RE: Integration durch Partialbruchzerlegung
okee
$\begin{eqnarray*} 2*ln(x²-2x+2) \end{eqnarray*}$ abgeleitet ergibt $\begin{eqnarray*} 2* \frac{1}{x²-2x+2} \end{eqnarray*}$
...oder wo ist der fehler, irgendwie sehe ich grade nicht wo da was nicht stimmt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x-3} \end{eqnarray*}$ würde ich auch als F(x) = ln(x-3) integriern ...

28.11.2010, 15:02

klarsoweit

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RE: Integration durch Partialbruchzerlegung
Nein, das ist falsch. Wollen wir nicht die Kettenregel beachten?

28.11.2010, 15:36

Jumper7

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RE: Integration durch Partialbruchzerlegung
oh wusste ich gar nicht das man das machen muss.. gut dass mir der fehler hier passiert und nicht in der klausur
nur wie funktioniert das dann?
$\begin{eqnarray*} 2* ln(x²-2x+2)* \frac{1}{2x-2} \end{eqnarray*}$ stimmt ja schon mal nicht
durch substition kommt auch nix sinnvolles raus...

28.11.2010, 15:42

klarsoweit

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RE: Integration durch Partialbruchzerlegung
Man muß natürlich richtig substituieren. Wie wäre es mit x = u+1 ?

28.11.2010, 16:13

Jumper7

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RE: Integration durch Partialbruchzerlegung
ganz blöde frage:
wieso x= u+1? ich muss doch mit u substituieren verwirrt

verwirrt

bzw wenn ich also für x u+1 einsetze komme ich auf folgendes:
$\begin{eqnarray*} 2*\frac{1}{(u+1)²-2*(u+1)+2} --> 2*\int_a^b \! \frac{1}{u²+2} \, du \end{eqnarray*}$
stimmt das soweit überhaupt?falls ja wie integriert man nun u² bzw resubstiuiert man dann u=x-1....??

28.11.2010, 17:01

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RE: Integration durch Partialbruchzerlegung
Im Nenner muß es u² + 1 heißen. Und das Integral von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{u^2 + 1} \end{eqnarray*}$ findest du in der Formelsammlung.

28.11.2010, 17:34

Jumper7

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RE: Integration durch Partialbruchzerlegung
jaaaa stimmt
dann kommt für $\begin{eqnarray*} \frac{1}{u^2 + 1} \end{eqnarray*}$ also arctan(u) wenn ich jetzt resubstituiere kriege ich dann arctan(x-1) ?

28.11.2010, 17:41

klarsoweit

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RE: Integration durch Partialbruchzerlegung
Ja. Freude

Freude

28.11.2010, 17:46

Jumper7

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RE: Integration durch Partialbruchzerlegung
der Tag ist gerettet Big Laugh

Big Laugh

das einzigste was mir zu denken gibt, ist die tatsache dass so viele kniffe und tricks vorkamen, auf die wäre ich nie alleine gekommen
noch eine allerletzte frage gibt es eine gute inet seite auf der ansätze für partialbruchzerlegungen wie

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{x-3} + \frac{Bx + C}{x^2-2x+2} \end{eqnarray*}$
zusammengefasst sind?
auf jeden fall Viiiiiiiiielen Dank smile

smile

29.11.2010, 09:49

klarsoweit

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RE: Integration durch Partialbruchzerlegung
Kauf dir ein gutes Analysisbuch oder schau auf Wiki.

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